Предел последовательности

Последовательность – частный случай функции.

Определение. Последовательность - множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров. В роли аргумента – номер члена последовательности.

Определение ( предел последовательности). Число p называется пределом последовательности , если для всех достаточно больших значений соответственные значения становятся как угодно близкими к числу p, т. е. p=.

Свойство 5.

Всякая последовательность, имеющая конечный предел, ограничена.

Доказательство:

, т. е.

Пусть A=min{a,};

B=max{b, }

Тогда последовательность ограничена

Свойство 6 (предел сложной функции).

Пусть выполнено условие:

1) ;

2) и ;

3) если , то

Тогда или (1)

Рассмотрим пример, показывающий, что при несоблюдении условия 3) применение формулы (1) может оказаться ошибочным.

Теперь вычислим формально по формуле (1)

Получили неверный результат, т. к. не выполнено условие 3) в свойстве 6, ведь является значением функции f(x) на , между тем

Следствие 1. Если , то для любой последовательности

Доказательство:

по формуле (1)

Условие 3) свойства 6 здесь выполнено, т. к. предел внутренней функции не является её значением.

Следствие 2. Если , то для любой последовательности при любом выборе .

Доказательство:

является сужением функции, поэтому по свойству 3 она имеет тот же предел, что и сама функция.

Следствия 1,2 часто используют для доказательства отсутствия пределов.

Например:

при

1)

2)

Предела не существует, т.к. он всегда разный.

Дата добавления: 2014-01-06