Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из самых эффективных методов сведения интеграла к табличному является метод замены переменной (или метод подстановки). Он основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке T, а X – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на множестве X, то на множестве T справедлива формула

.

(4)

Пример 1. Найти .

Решение: Введем замену t=1-2x:

.

Пример 2. Найти .

Решение: Введем замену t=x-1:

Пример 3. Найти .

Решение: Введем замену t=2-x:

Пример 4. Найти .

Решение: Пример 5. Найти .

Решение: .

Пример 6. Найти .

Решение: Введем замену .

.

В ряде случаев удобнее не выписывать переменную явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении переменных или постоянных под знак дифференциала.

Пример 7. Найти .

Решение: Используя свойства дифференциала запишем: .

.

Пример 8. Найти .

.

В общем случае для линейных подстановок вида t=ax+b справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

,

(5)

где a и b – некоторые числа, .

Доказательство. , но .

;

;

, quod erat demonstrandum.

Пример 9. Найти .

Решение. .

Пример 10. Найти .

Решение. .

Пример 11. Найти .

Решение. .

Дата добавления: 2014-01-07