Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида ,,вычисляются путем преобразования подынтегральной функции по формулам:

	(13)
	(14)
	(15)

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение:

.

II. Интеграл вида , где m и n – целые числа.

Вычисляется подстановкой:

A. если m – четное, а n – нечетное, подстановка ;

B. если m – нечетное, а n – четное, подстановка ;

C. если m и n оба нечетные, используется любая из подстановок a или b;

D. если m и n оба четные, необходимо понизить степени тригонометрических функций и проанализировать каждое слагаемое полученного выражения по предыдущим пунктам.

Формулы понижения степени:

	(16)
	(17)

Пример 2. Вычислить интеграл:

Решение:

.

Пример 3. Вычислить интеграл:

Решение:

Пример 4. Вычислить интеграл:

Решение:

.

Обозначим через R(u;v) функцию от переменных u, v и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления).

III. В общем случае для вычисления интегралов вида , в которых подынтегральная функция представляет из себя рациональную функцию от синуса или косинуса, используется универсальная подстановка:

,	(18)
	(19)

Пример 5. Вычислить интеграл:

Решение:

.

Дата добавления: 2014-01-07