Понятие определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n произвольных частей точками .

Выберем на каждом их частичных отрезков произвольную точку x_i: .

Теперь образуем сумму произведений:

,

(23)

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b].

Геометрический смысл интегральной суммы: пусть функциянеотрицательна на отрезке [a;b]; площадь под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллельной оси абсцисс.

Обозначим через l длину максимального частичного отрезка данного разбиения .

Определение. Конечный предел I интегральной суммы s при , если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a;b]:

(24)

Определенный интеграл обозначается символом:

(25)

Если определенный интеграл (25) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;b]., числа a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть:

.

Геометрический смысл определенного интеграла: Если функция неотрицательна на отрезке [a;b], где a<b, численно равен площади S под кривой на отрезке [a;b].

Экономический смысл определенного интеграла: пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда суммарный объем продукции произведенный за промежуток времени определяется по формуле: .

Дата добавления: 2014-01-07