Частные производные первого порядка

Пусть задана функция нескольких переменных . Дадим аргументу x приращение , а аргументу y приращение . Тогда функция получит новое значение

Величина называется полным приращением функции в точке (x;y).

Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента y, то полученные приращения функции будут называться частными приращениями и обозначаться как: и .

В общем случае полное приращение функции не равно сумме частных приращений, то есть:

.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначения частных производных:

, или , или .

Таким образом, по определению:

(2)

Частная производная характеризует скорость изменения значения функции при изменении заданной переменной, при условии, что все остальные переменные фиксированы.

Замечание. Для того, чтобы найти частную производную по определенной переменной, нужно считать константами все остальные переменные. При этом сохраняются все правила дифференцирования.

Пример 1. Найти частные производные функций: и .

Решение: Рассмотрим сначала функцию :

.

.

Рассмотрим функцию :

и

Дата добавления: 2014-01-07