Локальные экстремумы функции нескольких переменных

Пусть функция определена на множестве , а - некоторая точка этого множества.

Определение. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , принадлежащая , что для любой точки из этой окрестности выполняется неравенство ().

Согласно данному определению, полное приращение функции нескольких переменных удовлетворяет одному из условий в окрестности точки :

- , если - точка локального максимума;

- , если - точка локального минимума.

Теорема (необходимое условие экстремума): Если функция имеет в точке локальный экстремум и частные производные, то все эти частные производные равны нулю:

.

(12)

Точки, в которых выполняется условие (12), называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Пример 1. Найти стационарные точки следующей функции: .

Решение: Согласно условию (12): .

;.

Решаем СЛАУ:

.

Решение этой системы x=1, y=2, то есть точка с координатами (1;2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть в точке возможного экстремума функции и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны и равны .

Тогда, если:

,

(13)

то функция имеет в точке локальный экстремум при условии, что : максимум при A<0 и минимум при A>0. Если , то функция экстремума не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Пример 2. Найти точки локального экстремума и значения в них для следующей функции: .

Решение: Сначала найдем стационарные точки из условия (12):

.

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решением этой системы являются координаты двух точек: и .

Найдем вторые производные:

В точке :

. Значит в точкелокального экстремума нет.

В точке :

. Значит в точке есть локальный экстремум. Поскольку , то это точка максимума.

Значение функции в этой точке:

Дата добавления: 2014-01-07