Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Пусть определена и непрерывна на , тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она принимает на этом промежутке наибольшее наименьшее значения в какой-то точке. Эта точка может быть либо на границе промежутка, либо внутри. В последнем случае в этой точке будет экстремум и следовательно эта точка попадет в число подозрительных на экстремум. Таким образом, для нахождения наибольших и наименьших значений функции можно вычислить значения на концах промежутка, в точках экстремума и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Если исследование на экстремум затруднительно, то можно вычислить значение функции в точках подозрительных на экстремум и на концах промежутка.

Замечание (для любых промежутков ). Если известно, что внутри промежутка достигается наибольшее (наименьшее) значение функции и внутри промежутка всего одна точка подозрительная на экстремум, то это и будет точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример. Дан квадрат со стороной . Какие нужно сделать вырезы, чтобы объем коробки был максимальным?

Т.к. точка подозрительной точкой на экстремум не является, т.к. она на конце промежутка, то единственная подозрительная на экстремум точка -точка максимума.

Дата добавления: 2014-01-06