Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: Затухаючи коливання. Автоколивання. Вимушені коливання. Явище резонансу

Лекція № 32.

Практично всяке коливання матеріальної точки, якщо воно не підтримується ззовні, затухає, його амплітуда з часом зменшується. Причинами затухання коливань є сила тертя в точці, де підвішене тіло, сила опору середовища, передавання коливань іншим тілам, теплові ефекти в деформаціях пружин.

Найістотніше впливає на коливання тіла опір середовища. Коли швидкість руху тіла мала, сила опору середовища пропорційна швид­кості: , де r – коефіцієнт опору. Знак мінус показує, що сила опору завжди напрямлена проти руху.

Визначимо зміщення як функцію від часу у випадку затуха­ючих коливань. На точку в коливальному русі діють квазіпружна сила і сила опору, тому основне рівняння динаміки має такий вигляд:

. (1)

Масу m, коефіцієнт пружності k і коефіцієнт опору г називають параметрами коливальної системи. Поділивши рівняння (1) на масу m і ввівши заміну і , дістанемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

. (2)

Слід відзначити, що частота w0 являє собою частоту власних коливань без тертя, її називають власною частотою осцилятора. Коефіцієнт b – коефіцієнт затухання. За умовою b < w0 рівняння (2) описує затухаючи коливання. Його розв’язок має вигляд: , де А0 – амплітуда коливань у момент початку спостережень, а – рівняння залежності амплітуди коливань від часу. – частота затухаючих коливань, яка визначається за формулою: .

З останнього виразу визначаємо умовний період затухаючого коливання:

.

Період називається умовним тому, що затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амп­літуди коливання повторюються не абсолютно точно. Період коливання тіла у в'язкому середовищі більший, ніж період його власного коливання. Коли опір середовища значний, коливання не виникає, зміщене тіло повільно без коливання повертається в положення рівноваги. Графік затухаючих коливань зображено на рисунку.

Характеристики затухання:

- час релаксації – це час, за який амплітуда коливань зменшиться в e разів. Оскільки і , то ;

- логарифмічний декремен­т затухання – логарифм відношення двох послідовних амп­літуд: . Якщо замість b підставити його значення, то дістанемо: ;

- добротність коливальної системи визначається за формулою . Визначає якість коливальної системи.

Щоб коливання не затухали, до системи треба підводити енергію ззовні. Енергію можна поповнювати додатковими зовнішніми пош­товхами в такт коливанням. Практично використовуються такі при­строї, за допомогою яких сама коливальна система в потрібний момент зумовлює зовнішній поштовх. Таку систему називають автоколивальною, а її коливання – автоколиваннями. Прикладом автоколивальної системи є годинник.



Незатухаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої періодично змінної сили, називають вимушеними. Нехай зовнішня сила змінюється за гармонічним законом: . Складемо рівняння динаміки вимушених коливань. При цьому врахуємо, що крім змушувальної сили на систему діють також квазіпружна сила і сила опору середовища, яка пропорційна швидкості руху. Основне рівняння динаміки буде мати такий вигляд:

(3)

Поділивши це рівняння на масу і ввівши позначення: , , , дістанемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого по­рядку:

(4)

Досвід показує, що через деякий час у системі встановляться гармонічні коливання з частотою змушувальної сили, які відстають по фазі від останньої на j: (5). Задача полягає в знаходженні А і j. Для цього продиференціюємо рівняння (5) два рази:

(6)

(7)

Підставивши рівняння (5), (6) і (7) у (4), одержуємо:

(8)

Записавши рівняння (8) для моментів часу, коли і , отримуємо систему з двох рівнянь, розв’язуючи які одержуємо:

(9)

(10)

Отже, вирази (5), (9) і .(10) цілком визначають зміщення виму­шених коливань. З отриманих рівнянь свідчить:

- вимушені коливання є гармонічні коливання, частота яких до­рівнює частоті змушувальної сили;

- амплітуда вимушених коливань залежить не тільки від амплі­тудного значення змушувальної сили, а й від її частоти коливання. При певній частоті змушувальної сили wрез амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Це явище називається резонансом. Резонансну частоту можна визначити з умови максимуму амплітуди або мінімуму підкореневого виразу в знаменнику рівняння (10): . Підставивши це значення час­тоти в (0), знайдемо резонансне значення амплітуди: . З отриманих виразів свідчить, що коли опір середовища малий , резонансна частота збігається з частотою власних коливань: . У цьому випадку амплітуда вимушених коливань стає дуже великою. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти і коефі­цієнта затухання зображено на рисунку. Із зростанням коефіцієнта затухання b максимум резонансної кривої швидко опускається і крива згладжується. Явище резонансу стає малопомітним.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Тема: Затухаючи коливання. Автоколивання. Вимушені коливання. Явище резонансу

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 555; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.166.216.223
Генерация страницы за: 0.106 сек.