Тема: Пружні хвилі. Принцип Гюйгенса. Рівняння хвилі. Енергія пружної хвилі. Вектор Умова

Лекція № 35.

Пружною хвилею називають процес розповсюдження збурення у пружному середовищі. При цьому частки середовища рухаються навколо своїх положень рівноваги. Напрям поширення хвилі називають променем. Залежно від на­пряму коливання точок відносно променя хвилі поділяють на поз­довжні й поперечні. Поперечними називають хвилі, в яких частинки коливаються в напрямі, перпендикулярному до променя хвилі. Поздовжніми називають хвилі, в яких частинки коливаються в на­прямі променя хвилі. Дві точки хвилі коливаються в однакових фазах, якщо вони одночасно проходять положення рівноваги, рухаючись в одному напрямку: . Дві точки хвилі коливаються в противофазах, якщо вони одночасно проходять положення рівноваги, рухаючись в протилежному напрямку: . Відстань між найближчими точками в напрямі поши­рення хвилі, які коливаються в однакових фазах, називається довжиною хвилі l. Очевидно, довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за період: . У цій формулі v називають фазовою швидкістю. Знайдемо швидкість поширення поздовжньої хвилі. Для цього уявимо пружний стержень, до поперечного перерізу S якого прикладена сила F. В результаті цього за час хвильовий імпульс пошириться по стержню на відстань , а стержень зазнає зміни довжини . За законом Гука отримуємо:

,

де с — швидкість хвилі; Е — модуль Юнга; звідки

. (1)

Виразимо діючу силу за зміною імпульсу частинок стержня при умові v₀ = 0; :

(2)

Прирівнявши праві частини рівностей (1) і (2), дістанемо:

, (3)

де р — густина речовини. Швидкість поширення поперечної хвилі визначається через мо­дуль зсуву та густину за формулою:

. (4)

З формул (3) і (4) випливає, що в твердо­му тілі швидкість поширення поздовжніх хвиль більша, ніж поперечних. У даному випадку ми розглянули утворення хвилі тільки в одному напрямі. У суцільному середовищі коливання так само поширюються в усіх на­прямах від центра коливань. Геометричне місце точок, до яких дійшли коливання в деякий момент часу t, називається фронтом хвилі. За формою фронту розрізняють хвилі сферичні, плоскі та ін. Геометричне місце то­чок, що коливаються в однаковій фазі, на­зивається хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, збуджено­го хвилею. Очевидно, фронт хвилі є також окремим випадком хви­льової поверхні.

Знаходження фронту хвилі дуже полегшується, якщо користуватися принципом Гюйгенса, згідно з яким всі точки фронту хвилі в даний момент часу можна розглядати як самостійні джерела хвиль. Тому через час Dt від таких точок утворюються певні елементарні або так звані вторинні хвилі. Новий фронт хвилі через час Dt знаходять як резуль­туючий, будуючи обвідну поверхню вторинних хвиль. Так суто геометричним способом можна визначити фронт хвилі в на­ступний момент часу, якщо відомий фронт хвилі в даний момент.

Рівнянням хвилі називають вираз, який визначає зміщення будь-якої точки, збудженої хвилею, як функції від часу і відстані від початкової точки (джерела).

Знайдемо спочатку рівняння плоскої хвилі за умови, що всі точки хвилі здійснюють гармонічні коливання з однаковою амплітудою, тобто вва­жатимемо, що енергія хвилі не поглинається се­редовищем.

Припустимо, що хвиля поширюється в на­прямі осі z, отже, хвильові поверхні перпендикулярні до осі z. Оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, то зміщення x залежить лише від z і t. Нехай зміщення точок, що лежать у початковій площині (z = 0), визначається рівнянням . Точки, що міститься на відстані z від початкової, починають коливатися пізніше на час , який дорівнює часу поширення хвилі на відстань z. Отже, зміщення точок у такій площині . Отриманий вираз є рівнянням плоскої хвилі.

Знайдемо рівняння сферичної хвилі. Сферичні хвилі утворюються в суцільному однорідному сере­довищі від точкових джерел. Нехай зміщення точкового джерела визначається рівнянням . Знайдемо фазу й амплітуду для точок сферичної хвилі на відстані г від джерела. Порівняно з джерелом ці точки були приведені в коливання пізніше на час t, протягом якого хвиля поширювалася до них на відстань г: . Тому фаза коливання цих точок дорівнює: . Легко зрозуміти, що амплітуда точок при поширенні сферичної хвилі не залишається сталою навіть тоді, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. Енергія сферичної хвилі залишається такою самою, але на дальшій сферичній поверхні кількість точок збільшується, тому енергія і амплітуда кожної з них зменшуються. Очевидно, енергія в сферичній хвилі, розрахована на одиницю площі поверхні, а також на одну частинку, обернено пропорційна квадрату радіуса хвилі. Знаючи, що енергія частинки пропорційна квадрату амплітуди зміщення, знаходимо, що амплітуда точок зменшується обернено пропорційно радіусу сферичної хвилі. Рів­няння сферичної хвилі при цьому має такий вигляд: .

Продиференціюємо рівняння плоскої хвилі по змінних t і z:

; ,

звідки дістаємо: , тобто друга похідна від зміщення по часу пропорційна другій похідній від зміщення по координаті. Отриману залежність називають хвильовим рівнянням.

Дата добавления: 2014-01-07