Графічне рішення зворотної задачі плоского напруженого стану

Зворотна (обернена) задача плоского напруженого стану

По величині нормальних і дотичних напружень в двох взаємно перпендикулярних похилих площинах , , , необхідно визначити величину і напрямок дій головних напружень.

Припустимо, що нам відома величина головних максимальних напружень на похилій площині – і . Тоді, скориставшись раніше отриманими залежностями прямої задачі для визначення напружень, запишемо:

Складемо ці рівняння: (*).

Віднімемо від першого друге рівняння: (3)

З третього рівняння знаходимо: (4)

Розділимо рівняння для визначення із прямої задачі на і скориставшись виразом (3), враховуючи, що , будемо мати:

Цією формулою можна користуватися тільки для кутів . Для всіх інших випадків кут визначається так:

Повернемося до рівняння (4) і запишемо його гак:

(5)

Складаючи чи віднімаючи рівняння (5) з рівнянням (*) будемо мати:

Якщо: (1) (2) (3)

Перепишемо формулу для таким чином:

ця формула визначає єдине значення куга , на який необхідно повернути нормаль , щоб отримати напрямок більшого головного напруження.

Правило визначення напрямку дії алгебраїчно більшого головного напруження в зворотній задачі плоского напруженого стану.

Для того, щоб побудувати кут , що визначає напрямок дії алгебраїчне більшого головного напруження необхідно:

1) провести нормаль до площини ;

2) повернути цю нормаль на кут з урахуванням його величини і напрямку.

Повернута нормаль до площадки завжди буде характеризувати напрямок дії алгебраїчно більшого головного напруження.

Відрізняючою ознакою довільної площадки є наявність дотичних напружень на її гранях. За площадку зручніше всього вибирати одну із вертикальних площадок. А вже любу їй перпендикулярну площадку – за . Поряд з площадкою складають таблицю значень.

Основні положення графічного розв'язку задачі:

1. Будуємо т. , відкладаючи на осях значення і .

2. Будуємо аналогічно т. , відкладаючи на осях значення і .

3. З'єднуємо т. і прямою.

4. На відрізку , як на діаметрі, будуємо круг.

5. Для визначення напрямку дії головних напружень необхідно побудувати полюс . Для цього із т. проведемо пряму паралельну осі абсцис () до перетину з кругом. А потім із цієї точки через точки, перетину круга з віссю абсцис (т. і т. ) проведемо прямі, що будуть вказувати напрямок дії головних напружень.

Враховуючи прийняте правило знаків, знайдемо вираз для тангенсу кута нахилу головного напруження по відношенню до осі абсцис .

.

Дата добавления: 2014-01-07