Швидкості точок тіла

Знайдемо спочатку розподіл швидкостей у вільному твердому тілі. Згідно із законом про розподіл швидкостей та прискорень зробимо висновок про характер руху тіла.

Введемо у розгляд дві системи координат (див. рис. 5.1), одна з яких є нерухомою (), а друга – жорстко зв'язана з тілом ().

	Виберемо у тілі довільну т.і знайдемо її швидкість. Положення т. в цих двох системах координат визначимо векторним способом. Нехай вектор визначає положення т. в рухомій с. к. (). Положення т. в нерухомій с. к. буде визначатися вектором . З рисунку випливає, що . Розкладемо вектор за ортами рухомої с. к.:
Рис. 7.1.Системи координат.	, (7.1)

тоді

,

(7.2)

і, диференціюючи цей вираз за часом, отримаємо

(7.3)

().

Знайдемо похідні від одиничних векторів. Для цього розглянемо дві системи рівнянь:

;	(7.4)
.	(7.5)

Диференціюємо першу рівність системи (7.4) за часом:

.

(7.6)

Тут - швидкість точки кінця вектора (точки, що окреслює годограф орта ). На підставі рівності (7.6) вектор . Але оскільки , тобто , то, очевидно, вектор здійснює обертальний рух і тоді

(7.7)

згідно з формулою Ейлера. Тут - невідома кутова швидкість орта .

Для двох інших рівностей системи (7.4) отримуємо

(7.8)

Щоб знайти , розглянемо рівності (7.5). Диференціюючи першу з них, отримаємо

.

(7.9)

Підставляючи у вираз (7.9) рівності (7.7) і (7.8), будемо мати

,

звідки легко знайти (використовуючи правило циклічної перестановки у змішаному добутку: і комутативність скалярного добутку), що

.

(7.10)

Рівність (7.10) є вірною тільки якщо , оскільки окрім того, що вірно й те, що вектори і в загальному випадку не є ортогональними.

Якщо досліджувати аналогічним чином інші рівності (7.5), то неважко встановити, що

,

тоді похідні від ортів можна переписати так:

.

(7.11)

Підставимо формули (7.11) в (7.3):

.

Отже, отримали

, -

(7.12)

закон розподілу швидкостей у вільному твердому тілі.

Фізичний зміст вектора поки що невизначений, але можна відмітити, що за умови : , тобто тіло здійснює поступальний рух, а при (що відповідає «закріпленню» тіла у точці ) формула (7.12) переходить у формулу Ейлера (однак при цьому ми не можемо стверджувати, що вісь обертання є нерухомою).

Із формули (7.12) дістаємо висновок: рух вільного твердого тіла можна уявити як складений з двох рухів: поступального разом із полюсом і обертального навколо деякої осі, що проходить через полюс . Ця вісь називається миттєвою віссю обертання, вона змінює у просторі своє положення і напрямок, а є миттєвою кутовою швидкістю. Відмітимо також, що вектори і не лежать в одній площині.

Дата добавления: 2014-01-07