Структурна стійкість систем управління

У попередніх лекціях було показано, що стійкість системи залежить як від виду характеристичного рівняння системи, так і від конкретних числових значень коефіцієнтів рівняння. Існують системи, які нестійкі при будь-яких значеннях параметрів. Такі системи називають структурно нестійкими. Структурно нестійку систему можна зробити стійкої, змінивши її структуру. У структурно нестійкої системи в просторі будь-яких її параметрів області стійкості не існує.

Розглянемо одноконтурну систему, що містить одну інерційну ланку й дві ідеальних інтегруючих. Характеристичне рівняння замкнутої системи має вигляд:

(1)

і не містить доданок с p у першому ступені. Очевидно, що в цьому випадку не виконується необхідна умова стійкості - умова позитивності коефіцієнтів, і ніякі варіації параметрів k і Т₁ не можуть привести до появи що складається с р у першій ступені. Отже, ця система структурно нестійка.

Існують ланки, які, як правило, погіршують стійкість системи, і ланки, які майже завжди поліпшують стійкість. До першої групи відносять ланки:

- ідеальне інтегруюче

- нестійка статична ланка першого порядку

- консервативна (ідеальна коливальна ланка)

Ланками, що поліпшують стійкість системи, є ланки, що форсують. Звичайно застосовують ланки, що форсують, першого порядку:

.

Широко застосовуваний у промисловій автоматиці пропорційно-інтегральний закон регулювання відповідає послідовному з'єднанню ідеального інтегруючої ланки й ланки, що форсує, першого порядку:

Вплив цього закону на стійкість двояке: при більших значеннях коефіцієнта інтегральної складової k_и стійкість гірше, при більших значеннях коефіцієнта k_п - краще.

Розглянемо загальні умови структурної стійкості одноконтурної системи. Характеристичне рівняння системи в загальному випадку має вигляд:

, (2)

де - добуток знаменників передатних функцій окремих ланок, що входять у контур системи;

К(р) - добуток чисельників цих же функцій.

Умови структурної стійкості залежать від загального порядку п характеристичного рівняння (2) і від виду поліномів D(р) і К(р). У поліном D(р) входять знаменники «поганих» ланок (що погіршують стійкість), а в поліном К(р) - чисельники «гарних» - ланок, що форсують. Позначимо:

q - число ідеальних інтегруючих ланок;

t - число нестійких статичних ланок першого порядку;

r - число консервативних ланок вхідних у систему.

Якщо ланок, що форсують, у контурі ні, тобто К(р) = k (де k - загальний передатний коефіцієнт розімкнутого контуру), то умова структурної стійкості системи виражається у вигляді двох нерівностей:

Вплив передатного коефіцієнта розімкнутого контуру системи на стійкість.

Для одноконтурних систем коефіцієнт k входить у вираження АФЧХ як множник:

,

де .

Це означає, що довжини вектора при всіх значеннях пропорційні коефіцієнту k. При збільшенні коефіцієнта k АФЧХ розширюється (мал. а) і наближається до критичної крапки (-1; j0). Отже, збільшення передатного коефіцієнта розімкнутого контуру приводить до порушення стійкості системи.

Це правило справедливо для більшості реальних систем, у яких АФЧХ має форму плавної спіралі (мал. а). Однак існують системи, у яких АФЧХ має дзьбоподібну форму (мал. б). У таких системах до порушення стійкості може· привести не тільки збільшення, але й зменшення передатного коефіцієнту.

а) б)

Значення передатного коефіцієнта, при якому АФЧХ проходить через крапку (- 1; j0), називають граничним або критичним.

В існуванні граничного коефіцієнта можна переконатися й за допомогою критерію Михайлова. Дійсно, у простих одноконтурних систем коефіцієнт k входить тільки в коефіцієнт а_п характеристичного рівняння, причому, для статичних систем а_п = 1 + k, а для астатичних а_п = k. Якщо збільшувати коефіцієнт k, то буде збільшуватися тільки коефіцієнт а_п, і характеристична крива без деформації буде переміщатися вправо (мал.). Очевидно, що при деякому граничному значенні коефіцієнта а_п, а отже, і коефіцієнта k, крива пройде через початок координат, тобто система буде на границі стійкості.

Таким чином, установлена одна з найважливіших у ТАУ закономірностей:

чим більше загальний передатний коефіцієнт розімкнутого контуру системи регулювання, тим ближче замкнута система до границі стійкості.

Граничне значення передатного коефіцієнта залежить від співвідношення постійних часу ланок, що утворять контур системи. Розглянемо, наприклад, статичну систему, що складається із трьох інерційних ланок першого порядку з передатними коефіцієнтами k₁, k₂, k₃ і постійними часу Т ₁, Т ₂, Т₃. Характеристичне рівняння такої системи

,

де ; ; ; .

Відповідно до критерію Гурвица система третього порядку буде перебувати на границі стійкості при .

Підставивши в цю умову коефіцієнти характеристичного рівняння, одержимо

Вирішивши цю рівність відносно k_пр і виконавши деякі додаткові перетворення (ділення на а₀), одержимо вираження для граничного коефіцієнта передачі:

Аналізуючи дану залежність можна довести, що граничний коефіцієнт тим більше, чим більше різниця між двома постійними часу (наприклад, Т ₁ і Т ₂), що найбільш різняться, і чим ближче третя постійна часу (Т₃) до середньоарифметичного значення двох перших.

На підставі вираження можна сформулювати важливе практичне правило:

граничне значення передатного коефіцієнта системи залежить від співвідношення постійних часу й не залежить від їхніх абсолютних значень.

Наведене правило справедливо для систем будь-якого порядку, і, тому, завжди при конструюванні систем прагнуть якнайбільше «розсунути» постійні часу. Однак зміна постійних часу з метою збільшення передатного коефіцієнта й поліпшення точності системи в багатьох випадках виявляється неможливим або недоцільним. Дійсно, при конструюванні елементів системи звичайно вживають заходів, спрямовані на максимальне зменшення постійних часу, а тому подальше їхнє зменшення, як правило, неможливо. Збільшення ж постійних часу недоцільно, тому що веде до погіршення швидкодії всієї системи.

Дата добавления: 2014-01-07