Фазовые траектории линейных систем

В этом разделе исследуются фазовые траектории линейных систем в окрестности точек равновесия. Результаты исследований могут быть распространены на нелинейные системы, которые поддаются линеаризации. Исследуем линейную систему, описываемую уравнением

(15.7)

Эта система имеет характеристическое уравнение

(15.8)

Решение уравнения (15.7) при имеет вид

(15.9)

а при

(15.10)

В обоих решениях константы С₁ и С₂ определяются начальными условиями в системе. Предположим, что мы представили уравнение (15.7) в виде тождественной модели в переменных состояния. Как обычно, положим . Тогда

(15.11)

В соответствии с (15.9) и (15.11), при имеем:

(15.12)

По этим уравнениям мы можем установить характер движения системы в окрестности точек равновесия на плоскости (x₁, x₂). Заметим, однако, что согласно (15.11) система имеет только одну точку равновесия, расположенную в начале координат, . Рассмотрим теперь ряд частных случаев.

Случай 1

В этом случае и являются вещественными и имеют один и тот же знак. Предположим сначала, что и отрицательны. Согласно (15.12) x₁(t) и х₂( t) с течением времени стремятся к нулю и каждая из этих функций может изменить знак самое большее один раз. Фазовый портрет для этого случая приведен на рис.15.11,а. Подобная точка равновесия называется устойчивым узлом.

а) б)

Рисунок 15.11. Фазовый портрет, соответствующий устойчивому узлу (а) и неустойчивому узлу (б)

Если и являются вещественными и положительными, то система неустойчива и фазовый портрет имеет вид рис. 15.11,б. Точка равновесия в этом случае называется неустойчивым узлом.

Случай 2

В этом случае и являются комплексными с ненулевой действительной частью. Положим

(15.13)

тогда переменные состояния будут иметь вид:

(15.14)

Если и имеют отрицательные действительные части, то фазовый портрет выглядит в виде рис.15.12,а, а точка равновесия в начале координат называется устойчивым фокусом.

При положительной действительной части корней и фазовый портрет имеет вид 15.12,б, а точка равновесия называется неустойчивым фокусом.

а) б)

Рисунок 15.12. Фазовый портрет, соответствующий устойчивому фокусу (а) и неустойчивому фокусу (б)

Случай 3

В этом случае и являются мнимыми, и решение (15.14) принимает вид:

(15.15)

Фазовые траектории имеют эллиптическую форму, как показано на рис.15.13,а, а точка в начале координат называется центром или вихрем.

Случай 4

В этом случае и являются действительными, причем , а . Согласно (15.12)

(15.16)

За исключением случая, когда , и с течением времени неограниченно возрастают. Фазовый портрет изображен на рис.15.13,б а точка равновесия в начале координат называется седлом.

а) б)

Рисунок 15.13. Фазовый портрет, соответствующий центру (а) и седлу (б)

Дата добавления: 2014-01-07