Оценка абсолютной устойчивости с помощью критерия Попова

При решении практических задач анализа и синтеза нелинейных САУ часто возникает необходимость оценки устойчивости состояния равновесия и определения допустимых вариаций формы и параметров статической характеристики нелинейного элемента. Эти две задачи связаны с понятием и критерием абсолютной устойчивости нелинейной системы.

Пусть в контуре нелинейной САУ содержится нелинейный элемент с характеристикой , имеющей любую форму, но не выходящей за пределы определенного сектора [0, k_Н] (рис.16.4,а).

Состояние равновесия нелинейной системы называется абсолютно устойчивым, если оно асимптотически устойчиво при любой нелинейности, относящейся к определенному классу. Нелинейности считаются относящимися к одному классу, если их характеристики располагаются в секторе между осью абсцисс и прямой с угловым коэффициентом k_Н (см. рис.16.4,а).

Рисунок 16.4. Критерий оценки абсолютной устойчивости Попова

На первый взгляд, может показаться, что для оценки абсолютной устойчивости нелинейной системы, состоящей из линейной части с и нелинейности с , достаточно оценить устойчивость линейной системы с передаточной функцией .Однако это предположение выполняется только для некоторых частных видов , а в общем случае оно несправедливо и требуются специальные критерии.

Удобный критерий для суждения об абсолютной устойчивости нелинейных САУ предложил в 1959 г. румынский ученый В.Попов. Его критерий основан, как и критерий Найквиста, на использовании АФЧХ и имеет простую геометрическую трактовку.

В формулировке критерия используется понятие модифицированной АФЧХ. Пусть линейная часть устойчива и имеет следующую АФЧХ:

(16.25)

Образуем из этой обычной АФЧХ следующую видоизмененную АФЧХ:

(16.26)

у которой мнимая часть получена умножением , на , где = 1 с - нормирующий множитель. Характеристика (16.26) и называется модифицированной.

Теперь можно следующим образом сформулировать критерий абсолютной устойчивости равновесия нелинейной САУ, которая состоит из линейной части с АФЧХ и нелинейного элемента с характеристикой , расположенной в секторе [0, k_Н]:

для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы модифицированная характеристика не охватывала точку и через эту точку можно было провести прямую, не пересекающую характеристику (последняя лежит справа от прямой).

На рис.16.4,б, показан случай, когда критерий Попова выполняется, а на рис.16.4,в, г — случаи, когда не выполняется.

С помощью критерия Попова решают и обратную задачу, строят заданную характеристику , затем проводят как можно ближе к этой характеристике прямую так, чтобы получить наименьший отрезок , и таким образом находят допустимое значение углового коэффициента k_H.

По наклону прямой Попова, «прижатой» к кривой , можно судить о допустимом классе нелинейности: если прямая вертикальна, то нелинейность может быть только однозначной, а если она наклонена, то нелинейность может быть и однозначной, и неоднозначной (например, с гистерезисом).

Дата добавления: 2014-01-07