Системи координат і вектори

ЛЕКЦІЯ 3. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Питання й вправи

1. Розташуєте в убутному порядку чутливість рецепторів ока до квітів: червоний, зелений, синій.

2. Що таке хроматичний спектр?

3. Що таке ахроматичний спектр?

4. Як здійснюється проекція тривимірного колірного простору на площину?

5. Чим відрізняється колірний графік МКО від трикутної проекційної області колірного простору?

6. Що таке додатковий колір?

7. Що таке аддитивна й субстрактивна колірні моделі? Чим відрізняються їхні колірні куби?

8. Що є основою колірної моделі HSV і HLS?

9. Чи є колірні моделі HSV і HLS аддитивними або субстрактивними?

10. Побудуйте алгоритм перетворення моделі RGB в HSV.

11. Побудуйте алгоритм перетворення моделі RGB в HLS.

12. У чому складається головне достоїнство колірного простору Luv?

13. У чому складається головне достоїнство колірного простору Lab?

Системи координат і геометричні перетворення (паралельний перенос, масштабування, обертання). Завдання геометричних перетворень за допомогою матриць. Конгруентні перетворення. Перехід в іншу систему координат. Завдання обертання щодо довільної осі

Для подальшого викладу нам знадобляться деякі відомості з аналітичної геометрії й лінійної алгебри. Не ставлячи перед собою завдання докладного розгляду всіх цих питань, приведемо (або нагадаємо) ті основні поняття й операції, які використовуються в алгоритмах комп'ютерної графіки.

Дві взаємно перпендикулярні пересічні прямі із заданим масштабом утворять декартову прямокутну систему координат на площині. Крапка перетинання O називається початком координат, прямі називаються осями координат. Одну з осей називають віссю OX, або віссю абсцис, іншу - віссю OY, або віссю ординат. Ці осі також називають координатними осями.

Візьмемо довільну крапку на площині із заданою системою координат. Нехай і - проекції цієї крапки на осі абсцис і ординат відповідно, причому довжина відрізка дорівнює , а довжина дорівнює . Тоді пари чисел називається декартовими координатами крапки на площині (абсцисою й ординатою крапки).

Три взаємно перпендикулярні пересічні прямі із заданим масштабом утворять декартову прямокутну систему координат у просторі. Так само як і у випадку площини, крапка перетинання O називається початком координат, прямі називаються осями координат. Одну з осей називають віссю OX, або віссю абсцис, іншу - віссю OY, або віссю ординат, третю - віссю OZ, або віссю аплікат.

Нехай , і - проекції довільної крапки в просторі на осі абсцис, ординат і аплікат відповідно, причому довжина відрізка дорівнює , довжина дорівнює , а дліна дорівнює . Тоді трійка чисел називається декартовыми координатами крапки в просторі (абсцисою, ординатою й аплікатою крапки).

Рис. 4.1. Система координат на площині

Рис. 4.2. Система координат у просторі

Нехай на площині задана декартова система координат. Візьмемо дві крапки з координатами й відповідно. Тоді, використовуючи терему Піфагора, можна одержати, що відстань між цими двома крапками виражається формулою

Відстань між двома крапками в просторі з координатами й виражається аналогічною формулою:

Відрізок на площині й у просторі задається за допомогою двох крапок, що вказують його границі. Геометричним вектором, або просто вектором у просторі, будемо називати відрізок, у якого зазначено, яка з його граничних крапок є початком, а яка - кінцем (тобто зазначений напрямок вектора). Початок вектора називають крапкою його додатка. Вектор називається нульовим, якщо його початок і кінець збігаються. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих. Вектори вважаються рівними, якщо вони колінеарни, мають однакову довжину й однаковий напрямок. Таким чином, всі вектори, що виходять паралельним переносом з того самого вектора, рівні мeжду собою. Будь-яка крапка на площині й у просторі може розглядатися як вектор, початок якого збігається з початком координат (радіус- вектор), а кожний вектор, перенесений у початок координат, задає своїм кінцем єдину крапку простору. Тому будь-який вектор може бути представлений сукупністю своїх координат у декартовій системі.

Лінійними операціями над векторами прийнято називати операції додавання векторів і операцію множення вектора на число.

Сумою двох векторів і називається вектор, що йде з початку вектора в кінець вектора , за умови, що вектор прикладений до кінця вектора .

Перелічимо основні властивості операції додавання векторів:

-

-

- Існує нульовий вектор , такий, що для будь-якого вектора .

- Для кожного вектора існує протилежний йому вектор , такий, що .

Різницею двох векторів і називається такий вектор , що у сумі з вектором дає вектор .

Добутком вектора на число називається вектор , колінеарний вектору , що має довжину й напрямок, що збігається з напрямком вектора при й протиставлене напрямку при . Геометричний зміст множення вектора на число полягає в тому, що довжина вектора збільшується в раз.

Операція множення вектора на число має наступні властивості:

- (розподільна властивість числового співмножника щодо суми векторів);

- (розподільна властивість векторного співмножника щодо суми чисел);

- (сполучна властивість числових співмножників);

- якщо вектор колінеарен ненульовому вектору , то існує речовинне число , таке, що .

Лінійною комбінацією векторів і називається вектор . При цьому числа й називаються коефіцієнтами розкладання вектора по векторах і .

Якщо два вектори й задані своїми координатами й , то операції над ними легко виразити через ці координати:

-

-

-

Вектори , і називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині.

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність нулю їхньої лінійної комбінації можливо тільки у випадку рівності нулю коефіцієнтів і .

Справедливі наступні властивості:

- Які б не були неколінеарні вектори й , для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з ними, існують числа й , такі, що , причому така пари чисел для кожного вектора єдина. Таке подання вектора називається розкладанням по векторах і .

- Які б не були некомпланарні вектори , і , для будь-якого вектора існують числа , і , такі, що , причому ця трійка чисел для кожного вектора - єдинийственная (розкладання вектора по векторах ).

- Будь-які три вектори в системі координат площини є лінійно залежними.

- Будь-які чотири вектори в системі координат простори є лінійно залежними.

Говорять, що пари лінійно незалежних векторів на площині (трійка лінійно незалежних векторів у просторі) утворять базис, оскільки будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації цих векторів. Коефіцієнти розкладання вектора по базисних векторах називаються координатами вектора в цьому базисі. Якщо вектори базису взаємно перпендикулярні й мають одиничну довжину, то базис називається ортонормованим, а вектори базису називаються ортами. Таким чином, базис із одиничних векторів, спрямованих уздовж осей декартової системи координат, є ортонормованим.

Скалярним добутком векторів і називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Будемо позначати скалярний добуток векторів символом . Тоді скалярний добуток можна виразити формулою

Нескладно довести наступні властивості даної операції.

- Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори ортогональни.

- Якщо кут між двома векторами гострий, то скалярний добуток цих векторів позитивно, якщо ж кут тупий, те скалярний добуток негативно.

- (властивість комутативності).

- (сполучне щодо числового множника властивість).

- (розподільне щодо суми векторів властивість).

- Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату довжини вектора.

Приведемо деякі формули, пов'язані з розкладанням вектора в декартовій системі координат.

Нехай вектори й задані своїми координатами й . Тоді їхній скалярний добуток може бути обчислене по формулі

(4.1)

Звідси треба умова перпендикулярності векторів:

І, нарешті, косинус кута між векторами обчислюється по формулі

(4.2)

Тепер відстань між двома крапками з координатами й можна виразити через скалярний добуток відповідних векторів:

Уведемо ще одне поняття, що стосується векторів. Три вектори називаються впорядкованою трійкою, якщо зазначено, який із цих векторів є першим, який - другим і який - третім. При записі трійки векторів будемо розташовувати ці вектор у порядку їхнього проходження. Так, запис означає, що першим вектором трійки є вектор , другим - , третім - .

Трійка векторів називається правої (лівої), якщо після приведення до загального початку вектор розташовується по ту сторону від площини, що містить вектори , , звідки найкоротший поворот від до здається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , позначуваний символом і задовольняючою наступною вимогами:

- довжина вектора дорівнює добутку довжин векторів , на синус кута між ними, тобто

-

- вектор ортогонален векторам , ;

- вектор спрямований так, що трійка векторів є правою.

Приведемо (без доказу) основні властивості векторного добутку.

- (антисиметричність);

- (сполучна властивість щодо множення на число);

- (розподільна властивість щодо додавання);

- для будь-якого вектора .

Ясно, що векторний добуток двох колінеарних векторів дає нульовий вектор. Виведемо тепер формулy для векторного добутку. Нехай базисні вектори декартової системи координат утворять праву трійку. Тоді справедливі наступні співвідношення:

Якщо задані два вектори й , те, з огляду на властивості векторного добутку, звідси легко вивести, що

де

(4.3)

Дата добавления: 2014-01-07