Приклади дискретних розподілів

1. Біноміальний розподіл.

Нехай зроблено n незалежних випробувань. У кожному випробуванні настає або подія А, або відповідно з ймовірностями р, 1 -р. Розглянемо випадкову величину x - число появ події А в послідовності випробувань.

Закон розподілу цієї випадкової величини можна записати таким чином

Р (x = m) = , m=0,1,2,…n... (4)

Дійсно, розглянемо вираз (p + q)ⁿ =1 , розкладемо двочлен (p + q)ⁿ за формулою бінома Ньютона. Одержимо

тобто сума ймовірностей значень випадкової величини дорівнює одиниці, отже (4) є законом розподілу.

Знайти математичне сподівання за означенням, тобто за формулою

M (x) = ,

дуже складно.

Тому розглянемо випадкові величини x₁, x₂, … x_n , с однаковим законом розподілу:

x_k =

де k = 1,2,...n. Тоді

x = x₁ + x₂ + … + x_n...

Використовуючи властивості математичного сподівання одержимо:

М (x) = М (x₁ + x₂ + … + x_n) = М (x₁₎ + М (x₂₎ +…+М (x_n).

Знайдемо математичне сподівання x_k ,

М (x_k) = 0 · (1 - p) + 1· p = р, , тоді

М (x) = np

Аналогічно знайдемо дисперсію:

D (x) = D (x₁ + x₂ + … + x_n) = D (x₁) + D (x₂) +…+ D (x_n)

D (x_k) = (0 – p)² (1 – p) + (1 – p)² p = p² (1 – p) + (1 – p)² p = p (1 - p) (p + 1 - p) = p (1 - p) = p q

D (x) = n p q,

2. Розподіл Пуассона.

Нехай зроблено нескінченне число випробувань. Розглянемо випадкову величину x -число появ події А.

Закон розподілу в цьому випадку має вигляд:

p (x =m) = , λ > 0 - параметр розподілу, m = 0, 1, 2,... (5)

Покажемо, що сума ймовірностей дорівнює одиниці.

Дата добавления: 2014-01-07