Відокремлення коренів рівняння з однією змінною

Нехай задано рівняння (1), де визначена і неперервна на деякому скінченному чи нескінченному інтервалі.

Означення: корінь рівняння (1) називається ізольованим, якщо існує деякий окіл точки в якому не має інших коренів.

Задача знаходжуння наближеного розв’язку рівняння (1) поділяється на два етапи:

1. Відокремлення коренів – виділення якомога вужчих інтервалів в кожному з яких є лише один корінь.

2. Уточнення кореня – зведення його до необмеженого ступеня тосності.

Для відокремлення коренів корисними є твердження:

1. Якщо неперервна функція на кінцях приймає значення різних знаків, тобто , то на є принаймі один нуль цієї функції. Якщо похідна зберігає знак, то такий нуль єдиний.

2. є многочлен степеня m, то рівняння (1) не може мати більше ніж m коренів.

Наприклад: Відокремити корені рівняння

Визначити кількість коренів зростає на всій числовій осі. Оскільки . , то корінь единий. Запишемо

§3 МЕТОД ПОДІЛУ ВІДРІЗКА ПОПОЛАМ (МЕТОД ДИХОТОМІЇ)

Нехай задане рівняння . Нехай неперервна на і приймає на кінцях відрізка значення різних знаків.

корінь

Доведемо, що процес збіжний. .для грубої оцінки точночті користа теорема.

Теорема: нехай точний розв’язок рівняння (1), наближений розв’язок і :, тоді справедлива рівність

Дата добавления: 2014-01-07