Означення: Різницевим рівнянням називається рівняння відносно функції дискретної змінної

ДЕЯКІ ВІДОМОСТІ ПРО РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ

Розглянемо найпростіший випадок одного лінійного рівняння відносно невідомої функції одного цілочисельного аргументу.

(1)

Відмітимо, що це рівняння називається лінійним різницевим рівнянням к-того порядку. Воно є аналогом рівняння:.

Означення: Рівняння (2) називається лінійним однорідним рівнянням.

Мають місце наступні твердження:

1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння дорівнює сумі його частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.

2. Якщо функції є розв’язками однорідного рівняння (2), то теж є розв’ язком рівняння (2).

3. Якщо , то загальний розв’ язок рівняння (2) можна записати у вигляді: , де - лінійно-незалежні розв’ язки рівняння (2).

Означення: Якщо в рівняннях (1) і (2) коефіцієнти не залежать від , то такі рівняння називаються рівняннями з сталими коефіцієнтами.

()

()

розв’ язок рівняння (2) будемо шукати у вигляді: . Тобто .

Бачимо, що кожному кореню рівняння відповідає частинний розв’ язок рівняння (), а саме . Якщо всі корені характеристичного рівняння прості, то маємо к-різних розв’язків. Якщо деякий корінь має кратність , то йому відповідають розв’язки: , , …,.

Дата добавления: 2014-01-07