Парадокс Рассела

Способи задання множин

Є кілька способів задання множин.

1. Вербальний (словесний) за допомогою опису характеристичних властивостей, які повинні мати елементи множин. Наприклад, S – множина студентів жіночої статі у цій аудиторії.

2. Список (перелік) усіх елементів (у фігурних дужках). Наприклад, S = {1,2,3}.

3. Предикатний (характеристичний) за допомогою характеристичного предикату – деякої умови, вираженої у формі логічного твердження або процедури, яка повертає логічне значення, і дозволяє перевіряти, належить чи ні будь-який даний елемент множині. Якщо для даного елемента ця умова виконується, то він належить визначеній множині, у протилежному випадку – не належить. Тобто множина задається у вигляді { x: P(x)} або { x | P(x)}, де P(x) – характеристичний предикат. Наприклад:

· S = { x | x – натуральне число};

· S = { x | x – парне число};

· S = { x | x – цифра десяткової системи}.

Переліком можна задавати тільки кінцеві множини. Нескінчені множини задаються характеристичними предикатами.

Задання множини будемо називати ненадлишковим, якщо кожний її елемент входить в дану множину в єдиному екземплярі, і надлишковим, якщо хоча б один елемент цієї множини входить до її складу більш як в одному екземплярі (випадок мультимножини).

Введені вище поняття теорії множин з успіхом можуть бути використані в основах аналізу, алгебрі, математичній логіці. Однак при більш строгому розгляді такі інтуїтивні уявлення можуть виявитися незадовільними. Недосконалість інтуїтивних уявлень про множини, їх недостатність ілюструється, наприклад, відомим парадоксом, що його винайшов англійський філософ та математик Бертран Рассел.

Множини є або елементами самих себе, або не є такими. Так, множина абстрактних понять само є абстрактним поняттям, а множина всіх зірок на небі не є зіркою. Множина звуків також є звуком. Аналогічно, множина всіх множин є множиною.

Розглянемо множину А всіх множин X, що X не є елементом X, тобто

A = {X | XÏX}.

Якщо множина A існує, то ми маємо відповісти на запитання: АÎА? Нехай A не є елементом А, то за означенням А також є елементом А. З іншого боку, якщо А є елементом А, то АÏА. Отримали логічне протиріччя, яке відомо як парадокс Рассела.

Цей парадокс відомий у популярній формі як парадокс цирульника. В одному селищі цирульник зобов’язується голити всіх тих мешканців та тільки тих, які не голяться самі. Як бути самому цирульнику: чи має він голити сам себе? Очевидно, що будь-яка відповідь приводить до протиріччя.

Наведемо три способи запобігання цьому парадоксу Рассела.

1. Обмежити характеристичні предикати, які використовуються, виглядом

P(x) = x ÎS & Q(x),

де S – відома, свідомо існуюча множина. Зазвичай при цьому використовується позначення { x ÎS | Q(x)}. Для А така множина не зазначена, тому А – не є множиною.

2. Теорія типів. Об’єкти мають тип 0, множини елементів типу 0 мають тип 1, множини елементів типу 0 та 1 – тип 2 і т.д. А не має типу, тому не є множиною.

3. Явна заборона приналежності множини самій собі: XÎX – недозволений предикат. Відповідна аксіома має назву аксіома регулярності.

Існування та аналіз парадоксів у теорії множин сприяли розвитку так званого конструктивізму – напрямку у математиці, в межах якого розглядаються тільки такі об’єкти, для яких відомі процедури (алгоритми) їх побудови. У конструктивній математиці виключаються ті поняття та методи класичної математики, які не задані алгоритмічно.

Парадоксу Рассела можна запобігти, обмеживши множини, які розглядаються. Наприклад, достатньо заборонити використання в якості множин класи, які містять самі себе. При цьому немає повної впевненості, що не з’являться інші протиріччя. Повноцінним виходом є аксіоматична побудова теорії множин та доведення побудованої формальної теорії.

Дата добавления: 2014-01-07