Властивості відношень

Означення 2.9. Нехай R – бінарне відношення у множині А (RÍA´A). Тоді відношення R є:

§ рефлексивним, якщо IÍR, тобто, іншими словами, воно завжди виконується між елементом і ним самим ("aÎA, aRa). Як приклад такого відношення можна навести відношення нестрогої нерівності на множині натуральних або дійсних чисел.

Матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – одиниці. Граф рефлексивного відношення – тим, що петлі є у всіх вершинах.

§ антирефлексивним (іррефлексивним), якщо RÇI=Æ, тобто якщо співвідношення a_iRa_j виконується, то a_i¹a_j. Це, наприклад, відношення строгої нерівності на множинах натуральних або дійсних чисел, відношення “бути старшим” у множині людей.

Матриця антирефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – нулі. Граф антирефлексивного відношення не має жодної петлі.

§ симетричним, якщо R = R^-1, тобто при виконанні співвідношення a_iRa_j виконується співвідношення a_jRa_i. Як приклад такого відношення можна навести відстань між двома точками на площині, відношення “бути братом” на множині людей.

Симетричність відношення спричиняє також симетричність матриці. Також для такого відношення вершини графа можуть бути пов’язані тільки парами протилежно спрямованих дуг (тобто ребрами).

§ асиметричним, якщо RÇR^-1=Æ, тобто із двох співвідношень a_iRa_j та a_jRa_i щонайменше одне не виконується. Як приклад такого відношення можна навести відношення “бути батьком” у множині людей, відношення строго включення в множині всіх підмножин деякого універсуму. Очевидно, якщо відношення асиметричне, то воно й антирефлексивне.

Матриця асиметричного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – нулі й немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графа такого відношення петлі відсутні, а вершини можуть бути пов’язані тільки однією спрямованою дугою.

§ антисиметричним, якщо RÇR^-1ÍI, тобто обидва співвідношення a_iRa_j та a_jRa_i одночасно виконуються тоді й тільки тоді, коли a_j=a_i. Як приклад можна навести нестрогу нерівність.

Матриця антисиметричного відношення має ті самі властивості, що й асиметричного, за винятком вимоги рівності нулю елементів головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв’язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

§ транзитивним, якщо R°RÍR, тобто з виконання співвідношень a_iRa_j та a_jRa_k випливає виконання співвідношення a_iRa_k. Як приклад можна навести відношення “бути дільником” на множині цілих чисел, “бути старшим” на множині людей.

Матриця транзитивного відношення характеризується тим, що коли r_ij =1 й r_jk =1, то r_ik =1, причому наявність одиничних елементів на головній діагоналі не порушує транзитивність матриці. Граф транзитивного відношення характеризується тим, що коли через деяку сукупність вершин графа проходить шлях, то існують дуги, які з’єднують будь-яку пару вершин з цією сукупністю в напрямку шляху. Як правило, на графі транзитивного відношення зображують тільки цей шлях, а зумовлені транзитивністю дуги опускають. Такий граф називають графом редукції (або кістяковим графом).

Означення 2.10. Нехай R – бінарне відношення на множині А. Рефлексивним замкненням R є найменше рефлексивне відношення на А, що містить R як підмножину. Симетричне замкнення R є найменше симетричне відношення на А, що містить R як підмножину. Транзитивне замкнення R є найменше транзитивне відношення на А, яке містить R як підмножину.

Теорема 2.2. Нехай R – бінарне відношення на множині А і I – тотожне відношення на А. Тоді:

а) RÈI є рефлексивним замкненням R.

б) RÈR^-1 є симетричним замкненням R.

в) якщо А – кінцева множина, що містить n елементів, то відношення RÈR²ÈR³È…ÈRⁿ є транзитивним замкненням R.

Доведення. Доведення тверджень (а) та (б) залишаємо на самостійну роботу. Позначимо транзитивне замкнення R через R^Т. Для доведення твердження (в) спочатку покажемо, що RÈR²ÈR³È…ÈRⁿ Í R^Т. Проведемо індукцію по n. Для n=1 маємо R Í R^Т, що безумовно істинно. Нехай RÈR²ÈR³È…ÈR^k Í R^Т. Необхідно показати, що RÈR²ÈR³È…ÈR^kÈR^k+1 Í R^Т або, що теж саме, R^k+1 Í R^Т. Нехай (а,с)ÎR^k+1. Тоді існує b таке, що (а,b)ÎR^k і (b,c)ÎR. Але, згідно індуктивному припущенню, (а,b) і (b,c)ÎR^Т. Оскільки R^Т транзитивне, (а,c)ÎR^Т. Тому RÈR²ÈR³È…ÈR^k+1 Í R^Т. Для того, щоб показати, що R^ТÍRÈR²ÈR³È…ÈRⁿ, просто покажемо, що RÈR²ÈR³È…ÈRⁿ транзитивне. Нехай (a,b)ÎR^j і (b,c)ÎR^k. Тоді (a,c)ÎR^j+k. Якщо a=c, твердження доведено. Інакше існують b₂, b₃, b₄,…,b_j+k-1 ÎA такі, що (a,b₂), (b₂,b₃), (b₃,b₄),…,(b_j+k-2,b_j+k-1), (b_j+k-1,c)ÎR. Позначимо a через b₁, а c через b_j+k. Якщо деякі із b_i рівні, наприклад, b_p=b_q, із вказаної вище послідовності впорядкованих пар, які знаходяться у відношення R, можна видалити (b_p,b_p+1), (b_p+1, b_p+2),…,(b_q-1,b_q) і після цього отримати послідовність a, b₂, b₃,…,b_p-1,b_q,…,b_j+k-1,c, в якій кожний попередній елемент знаходиться у R-відношенні до наступного. Так можна продовжувати до тих пір, поки всі елементи не стануть відмінними, але при цьому кожний з них буде знаходитись у R-відношенні до наступного. Оскільки у множині А існує тільки n різних елементів, отримаємо, що (a,c)ÎRⁿ і RÈR²ÈR³È…ÈRⁿ транзитивне. ►

2.5. Алгоритм Уоршала Розглянемо алгоритм Уоршала побудови транзитивного замкнення відношення R на множині А, |A| = n. На вхід алгоритму подається матриця відношення R, а на виході буде матриця транзитивного замкнення T. 1. Поточне відношення S = R. 2. В якості поточного елементу (i) обирається перший елемент множини А. 3. Додати до відношення Т всі ті впорядковані пари з A´A (j,k), для яких виконується: a. ця впорядкована пара присутня у S (j S k) або b. в S присутні дві впорядковані пари виду j S i та i S k, тобто у S існує відношення між першою координатою впорядкованої пари та поточним елементом, а також між поточним елементом та другою координатою впорядкованої пари. 4. Поточне відношення S = Т. 5. Якщо є ще не вибрані елементи з А, то обрати наступний з них в якості поточного елементу (i) та перейти до п.3. Інакше перейти на п.6. 6. Кінець. У пункті 3 алгоритму до транзитивного замкнення додаються такі пари елементів з номерами j та k, для яких існує послідовність проміжних елементів з першого елементу А і до поточного елементу А. Дійсно, це вірно у двох можливих випадках: або вже існує послідовність проміжних елементів з номерами у діапазоні від першого до попереднього перед поточним для пари елементів з (j,k), або існує дві послідовності з номерами у діапазоні від першого до попереднього поточного – одна для пари елементів (j,i), а друга – для пари елементів (i,k). Перший випадок відповідає тому, що ми додаємо у транзитивне замкнення всі можливі “шляхи”, будь-якої довжини. Другий випадок на графі відношення буде відповідати тій ситуації, коли між вершинами j та k є зв’язок із декількох дуг і вони проходять через поточний елемент множини А.

Дата добавления: 2014-01-07