Парабола

Параболою називають множину всіх точок площини, відстань яких від фіксованої точки F (фокуса) дорівнює відстані від фіксованої прямої (директриси).

Нехай Ох проходить через фокус F перпендикулярно до директриси, а початок координат належить посередині, а початок координат лежить посередині між фокусом і директрисою, причому , де р –відстань від фокуса до директриси. Тоді рівняння директриси має вигляд: (18) (рис.4),

Рис 4

Рівняння параболи за означенням буде , де –точка параболи, –фокус, К –точка директриси , що є точкою перетину її з перпендикуляром, проведеним до директриси з точки М. Одержимо:

, .

Звідки (19) – канонічне рівняння параболи, вісь симетрії якої є Ох.

Якщо віссю симетріє параболи є вісь Оу, то рівняння параболи має вигляд , , а рівняння директриси .

Рис.5

Примітка: Якщо вісь симетрії параболи паралельна одній з координатних осей, а вершина знаходиться в точці М₀(х₀;у₀), то її рівняння має вигляд або (20)

Приклад 6. Записати рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох, що проходить через точки О(0;0) та М(1;-4).

Розв’язання.

Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно Ох має вигляд . Щоб знайти р, підставимо у рівняння координати точок О і М.

Одержимо: , Тоді .

Зауваження. Для визначення геометричного образу, який описує рівняння виду , треба звести його до одного з канонічних рівнянь ліній другого порядку шляхом виділення повного квадрата.

При цьому слід користуватися наступним:

1) Якщо А і В одного знаку і рівні, то це буде рівняння кола.

2) Якщо А і В одного знаку, але не рівні, то це буде рівняння еліпса.

3) Якщо А і В мають різні знаки, то це буде рівняння гіперболи.

4) Якщо А = 0 або В = 0, то це буде рівняння параболи.

Питання для самоконтролю

1. Що називається еліпсом?

2. Записати канонічне рівняння еліпса. Вказати його осі симетрії, вершини, фокуси.

3. Що називається гіперболою?

4. Записати канонічне рівняння гіперболи. Вказати її осі симетрії, вершини, фокуси, дійсну вісь, уявну вісь, асимптоти.

5. Що називається параболою?

6. Записати канонічне рівняння параболи. Вказати її вер­шину; директрису; фокус; вісь симетрії.

7. Що називається ексцентриситетом еліпса; гіперболи; параболи?

8. Написати загальне рівняння кривої другого порядку на площині. В якому випадку це рівняння являється рівнянням еліп­тичного типу; гіперболічного типу; параболічного типу?

9. Які фігури визначають рівняння еліптичного типу; гіпер­болічного типу; параболічного типу?

10. Яка поверхня називається еліпсоїдом?

11. Яка поверхня називається однопорожнинним гіпербо­лоїдом; двопорожнинним гіперболоїдом?

12. Яка поверхня називається еліптичним параболоїдом; гіперболічним параболоїдом?

13. Яка поверхня називається циліндричною?

14. Яку поверхню визначає в R³ рівняння F(x, у) = 0, якщо в R² це рівняння визначає деяку лінію?

15. Яка поверхня називається конічною?

16. Яка поверхня називається поверхнею обертання?

17. Нехай у площині Оху лінія задана рівнянням F(x, у) = 0. Написати рівняння поверхні, що отримана обертанням цієї лінії: а) навколо осі Ох; б) навколо осі Оу.

Дата добавления: 2014-01-07