КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Зв’язок диференційовності і неперервності функції
Диференційовність функції. Основні правила диференціювання
Означення. Функція y = f (x) називається диференційовною в точці x, якщо вона в цій точці має похідну. У протилежному випадку, якщо границя не існує, функція не диференційовна в точці x. Означення. Функція y = f (x) називається диференційовна в інтервалі ] a, b [, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу. Дія знаходження похідної функції y = f (x) називається диференціюванням функції, а розділ математики, що вивчає похідну і все, з нею пов’язане, називається диференціальним численням. Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційовна в точці x, то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з неперервності функції y = f (x) в точці x не випливає її диференційовність. Розглянемо цю ситуацію на прикладах. Приклад. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі (як елементарна). Проте в точці x = 0 ця функція не є диференційовною. Дійсно, при x = 0 і .
З точки зору геометрії крива є півкубічна парабола (рис.1), яка в точці x = 0 має вертикальну дотичну (вісь Оy), кут нахилу якої
Приклад. Розглянемо функцію y = |x| (рис.2), яка також неперервна при будь-якому x, але не диференційовна при x = 0. Дійсно, D y = | x + D x | – | x | і , тобто y = |x| – неперервна функція при будь-якому x. Для визначення диференційовності цієї функції розглянемо . Нехай x = 0. Тоді Оскільки то , тобто не існує (1 ¹ -1) і y = | x | не диференційовна при x = 0. Геометрично цей випадок відрізняється від попереднього тим, що при x = 0 крива y = |x| не має взагалі дотичної. Ліворуч x = 0 дотичною буде пряма y = - x (k = -1), а праворуч – пряма y = x (k = 1).
Отже, якщо y = f (x) не диференційовна при деякому x, то можуть бути два випадки: або не існує взагалі (крива не має дотичної при цьому x, рис. 2), або ця границя нескінченна (крива має вертикальну дотичну при цьому x, рис.1). В цьому випадку іноді говорять, що f ¢(x) = ¥. Але тоді функцію y = f (x) слід називати диференційовною в точці x, якщо вона має в цій точці скінченну похідну. 2. Основні правила диференціювання функцій Нехай функції u (x), v (x) мають похідні при деякому значенні x, тобто існують u ¢(x) і v ¢(x). Тоді в точці x мають місце такі правила: I. Похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних: (u(x) ± v(x))¢ = u¢(x) ± v¢(x). II. Сталий множник можна виносити за знак похідної (C·u(x))¢ = C·u¢(x) (C = const). III. Похідна добутку: (u(x)·v(x))¢ = u¢(x)·v(x) + v¢(x)·u(x). IV. Похідна частки: .
V. Похідна складеної функції. Нехай функція u = j(x) диференційовна в точці x, а функція y = f (u) диференційовна в точці , або ,
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 484; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |