Поняття про матрицю

Прямокутна таблиця, що складається з чисел, розташованих в рядках і стовпцях, називається матрицею і записується так:

Числа називаються елементами матриці, перший індекс – номер рядка, а другий – номер стовпця.

Матриця називається прямокутною, якщо , і квадратною, якщо , тоді – порядок матриці.

Дві матриці називаються рівними, якщо у них однакове число рядків і стовпців і відповідні елементи рівні.

Матриця називається нульовою, якщо кожен її елемент дорівнює нулю.

Матрицею-рядком називається матриця, що складається з одного рядка.

Матрицею-стовпцем називається матриця, яка складається з одного стовпця.

Матриця , яку одержимо з матриці заміною рядків стовпцями, називається транспонованою відносно матриці :

Для матриці транспонованою буде – матриця.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна пряма, що з’єднує її елементи, індекси яких однакові. Ці елементи називають діагональними.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною. У діагональній матриці не всі діагональні елементи повинні бути відмінними від нуля.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці. Позначають одиничну матрицю .

Визначником квадратної матриці називається визначник, елементами якого є елементи матриці , він позначається або .

Квадратна матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю і особливою (виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю.

Приєднаною до квадратної матриці називається матриця того ж порядку, елементами якої являються алгебраїчні доповнення відповідних елементів визначника матриці , транспонованої до :

2.2. Дії над матрицями

Сумою (різницею) двох матриць і називається матриця , елементи якої рівні сумі (різниці) відповідних елементів матриць і , тобто ().

Добутком матриці на довільне число називається матриця, елементами якої є добутки елементів матриці на

;

Добутком mp-матриці на pn-матрицю називається -матриця , елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів -го рядка матриці і -го стовпця матриці , тобто:

Добуток матриці на матрицю позначається . Добуток має зміст лише за умови, що кількість стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці

Приклад.

Властивості дій над матрицями

1. Добуток будь-якої матриці на одиничну матрицю відповідно порядку, як справа так і зліва, співпадає з матрицею , тобто:

Одинична матриця примноженні матриць відіграє ту ж роль що і одиниця при множенні чисел.

2. Добуток матриці на нуль-матрицю є нуль-матрицею.

3. Множення матриць не підлягає комутативному закону.

Матриці, які підлягають комутативному закону, називаються комутативними.

4. Добуток матриць підлягає асоціативному (сполучному) закону:

5. При множенні матриць виконується дистрибутивний закон:

6. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників. Якщо , то

Дата добавления: 2014-01-07