КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Представление числовой информации в ЭВМ
В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимают системы счисления, формы представления данных и специальное кодирование чисел. Системы счисления. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью ограниченного набора символов, называемых цифрами. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционных системах цифра не меняет своего количественного значения при изменении позиции. Пример непозиционной системы – Римские цифры. Количество q различных цифр, используемых для изображения чисел в позиционной системе, называется основанием системы счисления. В общем случае в позиционной системе счисления с основанием q любое число Х может быть представлено в виде полинома: Х(q) = xn–1qn–1+xn–2qn–2+…+ x1q1+x0q0+x–1q–1+…+x–mq–m =, (2.1) где Х(q) - запись числа в системе счисления с основанием q; xi - целые числа, меньше q; n - число разрядов (позиции) в целой части числа; m - число разрядов в дробной части числа. Например: 4295, 6731(10) = 4· 103+2·102+ 9·101+5·100+6·10–1+7·10–2+3×10–3+1·10–4. В информатике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, т. е. системы счисления с основанием q = 2k, где k =1, 3, 4. Наибольшее распространение получила двоичная система счисления с q = 2. В этой системе для представления любого числа используются два символа – цифры 0 и 1. Произвольное число с помощью формулы (2.1) можно представить в виде разложения по степеням двойки: X(2) = xn–12n–1+xn–22n–2+…+x121+…+x–m2–m. Например:
13,625(10) = 1·23 + 1·22 +0·21 + 1·20+1·2–1 + 0·2–2 + 1·2–3 = 1101,101(2). Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния. Таких технических устройств достаточно много. Преобразование числа Х из системы счисления с основанием р в систему счисления с основанием q (преобразование X(р) → Х(q)) осуществляется по правилу замещения, т.е. по формуле (2.1). В ЭВМ применяются следующие формы представления числовых данных: • числа с фиксированной точкой (запятой); • числа с плавающей точкой (запятой); Представление числа Х в форме с фиксированной точкой называют естественной формой. Место точки (запятой) постоянно для всех чисел и в процессе решения задач не меняется. Знак положительного числа кодируется цифрой "0", а знак отрицательного числа – цифрой "1". Форма представления чисел с фиксированной точкой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает время выполнения, машинных операций, однако при решении задач на машине необходимо постоянно следить за тем, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления. Если этого не соблюдать, то возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. От этих недостатков в значительной степени свободны ЭВМ, использующие форму представления чисел с плавающей точкой, или нормальную форму, в которой число представляется в виде произведения Х = m×qk, где m - мантисса числа; q - основание системы счисления (характеристика числа); k - порядок. Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит). Шестнадцать бит позволяют закодировать целые числа от 0 до 65535, а 24 бита – уже более 16,6 миллионов разных значений.
Чтобы кодировать действительные числа используют 80- разрядное кодирование. При этом число предварительно преобразуется в нормализованную форму, например: 3,1415926 = 0,31415926×101; 300 000 = 0,3×106; 123 456 789 = 0,123456789×1010. Большую часть из 80 бит отводят для хранения мантиссы (вместе со знаком) и некоторое фиксированное количество разрядов отводят для хранения порядка (тоже со знаком). Арифметические операции в позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам для всех систем. Рассмотрим сложение целых чисел с фиксированной точкой в двоичной системе. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Обратите внимание, что при сложении двух единиц происходит перенос единицы в старший разряд (также как и в десятичной системе, например, при сложении 8 и 5). Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. Например, сложим 101(2) и 110(2): Проверим правильность результата выполнением сложения в десятичной системе счисления. Переведем оба слагаемых в десятичную систему и сложим их. 101(2) = 1×22 + 1×20 = 5(10) ; 110(2) = 1×22 + 1×21 = 6(10) ; 5+6 = 11; 1011(2) = 1×23 +1×21 +1×20 = 8(10) + 2(10) + 1(10) = 11(10). Сложение выполнено правильно. При сложении и вычитании нормализованных чисел (с плавающей точкой) сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков. В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу. В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу. Пример. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111×10–1 и 0.11011×1010.
Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 583; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |