Розкладання вектора прискорення частинки на складові вздовж дотичної та вздовж нормалі до траєкторії

Введемо одиничний вектор , зв’язаний з точкою , що рухається, і напрямлений по дотичній до траєкторії в напрямку зростання дугової координати (рис.8). Очевидно, що , який дорівнює , з часом змінює свій напрям. Оскільки вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії, то його можна представити так

.

Тут – модуль вектора швидкості. Дійсно, з означення швидкості можна записати

.

Тут – модуль швидкості, , оскільки . Отже, співвідношення доведено.

Щоб знайти прискорення , продиференціюємо по часу

.

Перетворимо останній член цього виразу так

.

Дійсно, з трикутника, в якому кут малий (рис.9, б), одержимо – приріст модуля вектора :

.

А з означення введеного вектора випливає, що це одиничний вектор нормалі до траєкторії, направлений у бік вогнутості траєкторії. Перетворюючи далі формулу, маємо

.

Вжите тут співвідношення одержали з розгляду трикутника (рис.9, а), утвореного перпендикулярами до траєкторії, опущеними з кінців нескінченно малого переміщення частинки. Саме довжина цих перпендикулярів від точки їх перетину до траєкторії при прямуванні кута між ними до нуля (тобто в граничному переході до нескінченно малого переміщення) називається радіусом кривизни траєкторії в цій точці

.

Після підстановки і в формулу остаточно одержуємо

.

Тут перший доданок називається тангенціальним прискоренням , а другий – нормальним (доцентровим) .

Таким чином, повне прискорення може буди представлене як сума тангенціального і нормального прискорень (рис.10).

Модуль повного прискорення точки

Наведемо два приклади: 1.Якщо частинка рухається по прямій, тоді , ; 2.Якщо рух рівномірний по колу, тоді маємо , .

Дата добавления: 2014-01-06