Обертання навколо нерухомої осі

Кінематика твердого тіла

Теорія руху твердого тіла крім самостійної задачі відіграє важливу роль в тому відношенні, що з твердим тілом зв’язують систему відліку при просторово-часовому описі рухів (зокрема рухів поблизу поверхні Землі).

Виділяють п’ять видів рухів твердих тіл: 1)поступальний, 2)обертання навколо нерухомої осі, 3)плоский рух, 4)рух навколо нерухомої точки, 5)вільний рух.

Два перші рухи є основними рухами твердого тіла. Інші види рухів можна звести до цих основних. Це буде показано на прикладі плоского руху.

Поступальний рух – це такий рух, при якому будь-яка пряма, пов’язана з твердим тілом, залишається паралельною своєму початковому напрямку. Поступально рухається, наприклад, кабіна в колесі огляду, або вагон, що рухається прямолінійно.

При поступальному русі всі точки твердого тіла переміщуються однаково, а значить мають однакові швидкості і прискорення. Отже, для опису поступального руху твердого тіла досить з’ясувати рух окремої його точки, тобто задача зводиться до кінематики матеріальної точки.

Це рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній прямій.

Кожна точка (нехай точка) рухається в площині, перпендикулярній до осі обертання. Згідно з позначеннями величин на рис.11, довжина дуги дорівнює , де – кут повороту тіла за час , – відстань точки від осі обертання. Диференціюванням цього виразу одержимо рівність

.

Тут – величина, яка характеризує швидкість зміни кута і називається кутовою швидкістю обертання тіла. Вона однакова у всіх точок даного тіла.

Нехай тверде тіло, обертаючись навколо осі (рис.12) за короткий час , утворило нескінченно малий поворот.

Відповідний кут повороту будемо характеризувати вектором , модуль якого дорівнює куту повороту, а напрям співпадає з віссю і визначається правилом правого гвинта. За цим правилом напрям переміщення гвинта вздовж осі при обертанні його навколо осі і визначає напрям кута повороту .

Знайдемо елементарне переміщення точки , положення якої задається радіусом-вектором , проведеним із довільної точки на осі обертання. З використанням рис.12, з геометричних міркувань лінійне переміщення радіуса-вектора

.

Тут – кут між векторами і . Враховуючи напрямки векторів , і , останній вираз можна записати у вигляді векторного добутку

.

Відмітимо, що це співвідношення справедливе тільки для нескінченно малих кутів повороту . Іншими словами, тільки малі кути повороту можна розглядати як вектори.

Крім того, можна довести, що введені нами вектори малих кутів задовольняють основній властивості векторів – правилу додавання векторів.

Дійсно, уявимо собі, що тверде тіло утворює послідовно два елементарні повороти і навколо різних осей, що проходять через нерухому точку . Тоді результуюче переміщення довільної точки , радіус-вектор якої відносно точки дорівнює , можна записати так

,

або

.

З останньої рівності випливає

,

тобто два повороти і еквівалентні одному повороту на кут (рис.13). Отже, малі кути дійсно складаються за правилом трикутника.

Введемо вектори кутової швидкості і кутового прискорення. Вектор кутової швидкості визначається співвідношенням

.

Вектор співпадає за напрямом з вектором і уявляє собою аксіальний вектор, тобто вектор, напрям якого зв’язують з напрямом обертання.

Вектор кутового прискорення характеризує швидкість зміни кутової швидкості і визначається так

Спроектуємо рівняння і на вісь обертання , додатній напрям якої зв’язаний з додатнім напрямом повороту правилом правого гвинта (рис.14). Тоді проекції і векторів на вісь визначаються формулами:

Якщо відома залежність – закон обертання тіла, тоді за формулами і можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення в кожний момент часу. І навпаки, за відомою залежністю кутового прискорення від часу можна знайти і , але при цьому необхідно знати початкові умови і .

Дата добавления: 2014-01-06