Основне рівняння динаміки точки в неінерціальній системі відліку

Рівняння руху, другий закон Ньютона, не змінює свого вигляду при переході від одної інерціальної системи відліку до іншої, також інерціальної. Розглянемо, як перетворюються ці рівняння при переході від інерціальної системи відліку до неінерціальної (рис.26). -система в даному випадку уявляє собою тіло, яке крім переміщення в просторі ще і обертається навколо пунктиром вказаної на рис.26 осі з кутовою швидкістю .

В інерціальній системі рух частинки відбувається згідно з рівнянням Ньютона:

.

Щоб записати це рівняння в системі врахуємо, що інтервали часу , відрізки , маси і сили взаємодії рівні відповідним величинам в інерціальній -системі. Штрихами ми позначили величини в -системі. Тоді, щоб знайти вираз , треба знайти зв’язок між радіусом-вектором частинки, швидкістю та прискоренням відносно системи з відповідними величинами в системі . Позначивши – радіус-вектор початку -системи координат, запишемо зв’язок між векторами (рис.26)

.

Тут

де , , – орти інерціальної системи координат, , , – компоненти вектора , а , , – компоненти вектора цієї системи. Аналогічні величини в неінерціальній системі позначені штрихами.

Диференціюючи знайдемо зв’язок між швидкостями в обох системах

.

При диференціюванні слід мати на увазі, що неінерціальність системи може бути пов’язана не тільки з прискореним рухом її початку координат, а і з обертанням, тобто із зміною напрямків ортів , , з часом.

Похідні в мають вигляд

В останній формулі перший доданок – це вектор швидкості частинки відносно неінерціальної системи . Позначимо його

.

Далі, використовуючи формули із кінематики,

, , ,

запишемо другий доданок в правій частині формули у вигляді

Таким чином, остаточно маємо

.

Отже, швидкість частинки відносно інерціальної системи відліку дорівнює сумі відносної швидкості та переносної швидкості . Причому остання складається з двох доданків, перший з яких зумовлений поступальним рухом системи , а другий – її обертанням.

Знайдемо аналогічну формулу для прискорення. Продиференціювавши вираз по часу, маємо

,

крім того

Тут знову використали формули і позначили через вектор прискорення частинки відносно неінерціальної системи відліку.

Підставляючи в вирази і маємо

.

Домноживши це рівняння на масу , перепишемо його у вигляді

.

В останньому рівнянні – кутове прискорення. З врахуванням виразу , де – сила взаємодії, рівнянню можна надати форму рівнянь Ньютона

,

якщо ввести поряд із звичайними силами так звані сили інерції:

В порядку розташування сили інерції мають такі назви:

– сила інерції при поступальному русі,

– відцентрова сила інерції,

– сила Коріоліса,

– так звана „тангенціальна” сила.

Сили інерції , що входять до виразу істотно відрізняються від сил взаємодії , оскільки для них не можна вказати джерела у вигляді певного тіла, що діє на частинку. Сили інерції обумовлені властивостями самої системи відліку, її неінерціальністю.

Дата добавления: 2014-01-06