Коефіцієнт передачі фільтра першого порядку

(5.3)

де

У відповідності з виразом (5.3) коефіцієнт передачі фільтра НЧ може бути записаний при

для ФВЧ, при

для фазового коректора, при ,

Коефіцієнт передачі фільтра другого порядку

(5.4)

Виходячи з виразу (5.4), коефіцієнт передачі відповідних фільтрів можна подати у вигляді:

для ФНЧ, при

для ФВЧ, при

для смугопроникального фільтра, при

для смугозатримувальних фільтрів, при

для фазового коректора, при

Фільтри другого порядку можна реалізувати, з'єднуючи відповідним чином ланки першого і нульового порядку. Спосіб такої реалізації витікає з можливої форми подання коефіцієнта передачі у вигляді елементарних функцій інтегрування, диференціювання, підсумовування. Оскільки способів подання виразу (5.4) через елементарні функції може бути досить багато, то і число можливих схемних рішень фільтрів другого порядку може бути значним.

На практиці фільтр характеризується трьома основними параметрами: – характеристична частота (зрізу), що характеризує рівень послаблення АЧХ –3 дБ; модуль коефіцієнта передачі у смузі пропускання; – коефіцієнт згасання коливань.

Смуга пропускання і добротність Q пов'язані з коефіцієнтом згасання співвідношенням

Відомі три найбільш популярні типи активних фільтрів: Баттерворта, (максимально плоска характеристика в смузі пропускання), фільтр Чебишева (найбільш крутий перехід від смуги пропускання до смуги придушення) та фільтр Бесселя (максимально плоска характеристика часу затримки). Будь–який з цих фільтрів можна реалізувати за допомогою різних схем. Всі вони придатні для побудови фільтрів верхніх, нижніх частот і смугових фільтрів.

5.2 Фільтри Баттерворта і Чебишева

Фільтр Баттерворта, як відзначено вище, забезпечує найбільш плоску характеристику в смузі пропускання, що однак досягається за рахунок повільної зміни характеристики у перехідній області, тобто між смугами пропускання і затримки. Він також має погану фазочастотну характеристику, тобто таку, що викликає значні фазові спотворення. Його амплітудно–частотна характеристика задається таким виразом

(5.5)

де n – визначає порядок фільтра (число полюсів); – частота зрізу.

Збільшення числа полюсів дає можливість зробити більш плоскою ділянку АЧХ в смузі пропускання і збільшити крутість спаду від смуги пропускання до смуги затримки, рис. 5.1.

Тобто слід розуміти, що вибираючи фільтр Баттерворта, для досягнення максимально плоскої АЧХ слід поступитися всіма іншими вимогами.

У більшості випадків найбільш важливим є забезпечення вимоги необхідної нерівномірності в смузі пропускання, яка не повинна перевищувати встановленого значення, наприклад 1 дБ. Фільтр Чебишева відповідає цій вимозі, при цьому допускається деяка нерівномірність по всій смузі, але при цьому значно збільшується крутість зламу АЧХ. Для фільтра Чебишева задаються числом полюсів і нерівномірністю в смузі пропускання. Припускаючи збільшення нерівномірності в смузі, отримають більш крутий злам АЧХ. АЧХ фільтра Чебишева задається таким виразом

(5.6)

де – поліном Чебишева степеня n; – константа, що визначає нерівномірність АЧХ в смузі пропускання.

Нормована частота

Рисунок 5.1 – Нормовані характеристики фільтра нижніх частот Баттерворта

Фільтр Чебишева як і фільтр Баттерворта має ФЧХ, що викликає значні фазові спотворення сигналів. На рис. 5.2(а,б) подані для порівняння характеристики АЧХ 6–полюсних фільтрів нижніх частот, 1 – фільтр Бесселя, 2 – фільтр Баттерворта, 3 – фільтр Чебишева, RC – фільтр. Як можна бачити з рис.5.2 всі вказані типи фільтрів набагато кращі за RC фільтр.

Рисунок 5.2 – Порівняння характеристики 6–полюсних фільтрів нижніх частот

Але слід відзначити, що і ці типи фільтрів не вільні від недоліків, для фільтра Баттерворта це поступове зниження характеристики при наближенні до частоти , а для фільтра Чебишева – пульсації, що розподілені по всій смузі, кількість яких зростає разом з порядком фільтра. Окрім цього, активні фільтри, що побудовані з елементів, номінали яких мають деякий допуск, будуть мати характеристики, що відрізняються від розрахункових. На рис.5.3 проілюстровано цей вплив.

Але разом з вказаними недоліками, фільтр Чебишева є досить раціональною структурою, інколи його називають рівнохвильовим фільтром, оскільки його АЧХ в перехідній області має велику крутість за рахунок того, що в смузі пропускання розподілено декілька рівновеликих пульсацій. Навіть при відносно малих пульсаціях (приблизно 0.1 дБ) фільтр Чебишева забезпечує набагато більшу крутість АЧХ в перехідній області, ніж фільтр Баттерворта. Розрахунок показує, що для забезпечення нерівномірності АЧХ в смузі пропускання не більше 0.1 дБ і згасання 20 дБ

Рисунок 5.3 – Вплив зміни параметрів елементів на характеристику активного фільтра

на частоті, що відрізняється на 25% від граничної частоти смуги, необхідним є 19–полюсний фільтр Баттерворта і тільки 8–полюсний фільтр Чебишева. Ще кращі показники можуть бути досягнуті у так званих еліптичних фільтрах (або фільтрах Кауера). В таких фільтрах допускаються пульсації АЧХ як в смузі пропускання, так і в смузі затримки для досягнення великої крутості перехідної ділянки АЧХ навіть більшої, ніж у фільтрів Чебишева.

5.3 Фільтри Бесселя

Як було встановлено раніше, АЧХ фільтра не дає про нього повної інформації. Фільтр навіть з плоскою АЧХ може давати великі фазові спотворення. У тих випадках, коли необхідно зберегти форму сигналу, бажано мати фільтр з лінійною ФЧХ. Вимоги забезпечення лінійної ФЧХ еквівалентні вимогам забезпечення постійного часу затримки. Фільтр Бесселя (друга назва фільтр Томсона) має плоску ділянку частотної характеристики групового часу затримки в смузі пропускання, подібно до того як фільтр Баттерворта має найбільш плоску АЧХ. На рис.5.4 зображені нормовані за частотою графіки ГЧЗ для 6–полюсних фільтрів нижніх частот Бесселя і Баттерворта.

Вказана форма характеристики ГЧЗ фільтра Баттерворта викликає появу ефектів викидів при проходженні через фільтр імпульсних сигналів. З другого боку, сталість характеристики ГЧЗ у фільтра Бесселя призводить

Рисунок 5.4 – Порівняння ГЧЗ для 6–полюсних фільтрів нижніх частот Бесселя (1) і Баттерворта (2)

до ще більш пологої перехідної ділянки, навіть ніж у характеристики фільтра Баттерворта.

Існують способи проектування фільтрів, в яких робиться спроба покращити робочі параметри фільтра Бесселя у частотній області, навіть нехтуючи сталістю ГЧЗ заради зменшення часу зростання і покращення АЧХ. Фільтр Гауса має практично аналогічну до фільтра Бесселя ФЧХ, але кращу перехідну характеристику.

Другий цікавий клас – це фільтри, що дозволяють отримати однакові пульсації кривої часу запізнення у смузі пропускання (аналогічно пульсаціям АЧХ фільтра Чебишева) і забезпечити приблизно однакове запізнення для сигналів зі спектром до смуги затримки. Ще один підхід до створення фільтрів з постійним часом запізнення – це застосування усепроникальних фільтрів, так званих коректорів у часовій області. Такі фільтри мають постійну АЧХ, а зсув фаз може змінюватися відповідно до конкретних вимог. Таким чином, їх можна застосовувати для вирівнювання часу запізнення будь–яких інших фільтрів (Баттерворта або Чебишева).

5.4 Порівняння фільтрів різних типів

Не звертаючи увагу на раніше зроблені зауваження про перехідну характеристику фільтрів Бесселя, слід все ж відзначити, що він має дуже добрі властивості у часовій області у порівнянні з фільтрами Баттерворта і Чебишева. Фільтр Чебишева при його дуже добрій АЧХ має найгірші параметри у часовій області. Фільтр Баттерворта дає компроміс між частотними і часовими характеристиками. На рис.5.5 подана інформація про робочі характеристики усіх трьох типів фільтрів у часовій області, що доповнює наведені раніше графіки АЧХ. Їх аналіз показує, що у тих випадках, коли важливими є параметри фільтра у часовій області, бажаним є застосування фільтра Бесселя.

Рисунок 5.5 – Порівняння перехідних процесів для 6–полюсних фільтрів нижніх частот

5.5 Схеми активних фільтрів

Відомо багато схем активних фільтрів, які використовуються для отримання необхідної характеристики фільтра, але всі вони повинні відповідати таким вимогам:

– мати малу кількість елементів, як активних, так і пасивних;

– забезпечувати легкість регулювання;

– забезпечувати малий вплив розкиду параметрів елементів, особливо конденсаторів;

– забезпечувати відсутність жорстких вимог до операційного підсилювача, особливо по вимогах швидкості зростання, ширини смуги і вихідному опору;

– забезпечувати можливість створення високодобротних фільтрів;

– забезпечувати нечутливість характеристик фільтрів до коефіцієнта підсилення ОП.

Фільтр, який вимагає використання високоточних елементів, важко наладнати, і по мірі старіння елементів настроювання губиться. Так звана схема фільтра на основі джерела напруги, що керується напругою ДНКН дуже поширена, в основному завдяки своїй простоті і малій кількості елементів, але ця схема є дуже чутливою до зміни параметрів елементів. Для порівняння, зацікавленість, що виникла до складних гіраторних схем, зумовлена їх нечутливістю до малих змін параметрів елементів.

5.5.1. Фільтри Саллена і Кі. На рис. 5.6 наведено приклад простого фільтра, відомого також як фільтр Саллена і Кі, по прізвищах його винахідників. У якості підсилювача застосовується ОП, що включений в режимі повторювача.

Цей фільтр є двополюсним фільтром ВЧ. Слід відзначити, що такий фільтр міг бути простим двокаскадним фільтром, якщо б перший резистор не був би з'єднаний з виходом. Легко показати, що на дуже низьких частотах нахил АЧХ такий самий, як RC фільтра, оскільки вихідний сигнал практично дорівнює нулю. Зростання вихідного сигналу при збільшені

його частоти призводить до зменшення послаблення в результаті дії цього стежного зв’язку, і за рахунок цього злам АЧХ стає більш різким.

Рисунок 5.6 – Фільтр Саллена і Кі

5.5.2. Фільтри на джерелах напруги, що керується напругою (ДНКН). Активні фільтри на ДНКН, це варіант фільтра Саллена і Кі, але в цьому випадку повторювач напруги замінено неінвертуючим підсилювачем, коефіцієнт підсилення якого більше за 1. Достатній набір різних RC –ланок, побудованих на основі ДНКН, дозволяє об'єднати їх в одне ціле з необхідною характеристикою, близькою до апроксимуючої функції, не піклуючись про їх взаємний вплив.

На рис. 5.7 (а, б, в) наведені варіанти схем, що реалізують фільтри НЧ, ВЧ і смуговий фільтр.

Смуговий фільтр утворюється як комбінація фільтрів НЧ і ВЧ. Ці двополюсні фільтри можуть бути фільтрами Баттерворта, Бесселя і іншими за рахунок відповідного підбору параметрів елементів. Будь–яке число двополюсних секцій може бути з`єднано каскадно для утворення фільтрів високого порядку. Кожна секція відповідає квадратичному співмножнику полінома степені n, що дає опис фільтра у цілому.

У фільтрах на ДНКН використовується мінімальна кількість елементів (один ОП на два полюси характеристики), при цьому вони дають додатковий виграш у вигляді неінвертувального коефіцієнта підсилення, низького вихідного опору, малого розкиду параметрів, зручності зміни коефіцієнта підсилення і спроможності роботи при великому коефіцієнті підсилення або малому згасанні. Їх недолік – велика чутливість до зміни параметрів елементів і коефіцієнта підсилення ОП, окрім цього вони не можуть бути застосовані для побудови фільтрів, що перестроюються.

Рисунок 5.7 – Активні фільтри НЧ (а), ВЧ (б) і смуговий (в) на ДНКН

5.6 Проектування фільтрів на ДНКН

Для проектування n –полюсних фільтрів (при парному n) необхідно з'єднати секцій на ДНКН. Тому розрахунки ведуться тільки для фільтрів парного порядку. В кожній секції і . Як і звичайно в схемах на ОП, значення R вибираються в діапазоні від 10 до 100 кОм. Резисторів з малим номіналом краще уникати оскільки вихідний опір ОП додається до опору резистора, вносячи помилку у розрахунки. Розрахунки ведуться з використанням даних табл. 5.1.

Розраховуючи фільтр Баттерворта, необхідно мати на увазі, що усі секції мають однакові значення R i C, які визначаються відношенням де – частота зрізу фільтра (–3дБ). Щоб побудувати, наприклад, 6–полюсний фільтр Баттерворта НЧ, необхідно з'єднати три наведені вище секції з коефіцієнтами підсилення, рівними відповідно 1.068, 1.586, 2.483 (бажано у вказаному порядку, щоб запобігти проблем з динамічним діапазоном) і підбираючи ідентичні для усіх секцій значення R i C встановлюємо точку, що відповідає частоті . Наприклад,

Дещо складніше побудувати фільтр Бесселя і Чебишева. Як і в попередньому випадку з'єднується необхідна кількість секцій 2–х полюсних фільтрів з вказаним для кожної секції коефіцієнтом підсилення (див.табл.5.1). В кожній секції попередньо забезпечується рівність і . Але далі для кожної секції необхідно забезпечити свій добуток RC, який обчислюється за допомогою множників нормування (див. табл.5.1) за виразом . Для фільтра Чебишева – частота, на якій АЧХ падає нижче діапазону нерівномірності при переході до смуги затримки. У випадку збільшення нерівномірності АЧХ в смузі для фільтрів Чебишева вдається отримати більшу крутість АЧХ в перехідній області.

Таблиця 5.1

n	Фільтр Батерв.	Фільтр Бесселя	Фільтр Чебиш. (0.5дБ)	Фільтр Чебиш. (2дБ)
К		К		К		К
	1.586 1.152 2.235 1.068 1.586 2.483   1.038 1.337 1.889 2.610	1.274 1.432 1.606 1.607 1.692 1.908   1.781 1.835 1.956 2.192	1.268 1.084 1.759 1.040 1.364 2.023   1.024 1.213 1.593 2.184	1.231 0.597 1.031 0.396 0.768 1.011   0.297 0.599 0.861 1.006	1.842 1.582 2.660 1.537 2.448 2.846   1.522 2.379 2.711 2.913	0.907 0.471 0.964 0.316 0.730 0.983   0.238 0.572 0.842 0.990	2.114 1.924 2.782 1.891 2.648 2.904   1.879 2.605 2.821 2.946

Для побудови фільтрів ВЧ використовуються дзеркальні до схеми фільтрів НЧ схеми, тобто схеми де R i C поміняні місцями. При цьому для фільтра Баттерворта значення і лишаються без змін. Для фільтрів Бесселя і Чебишева значення лишаються без змін, а нормуючий множник змінюється на зворотній, тобто

Смуговий фільтр отримується при каскадному з'єднанні фільтрів ВЧ і НЧ з перетинальними смугами пропускання. Смугозатримувальний фільтр можна отримати при паралельному з'єднанні фільтрів НЧ і ВЧ зі смугами, що не перетинаються. Смуга пропускання смугового фільтра визначається як ширина характеристики між точками –3дБ, окрім, рівнохвильових фільтрів, для яких ця ширина визначається точками, де характеристика спадає на величину пульсації у смузі пропускання. Але такі фільтри не можуть застосовуватись у випадках коли необхідні фільтри з високою добротністю. У таких випадках слід застосовувати однокаскадну смугову схему або фільтри, що будуються на основі методу змінного стану. Навіть однокаскадний двополюсний фільтр може мати АЧХ з гострим викидом.

5.7 Фільтри, що будуються на основі методу змінного стану

Ідею синтезу на основі уявлення про змінний стан можна реалізувати на прикладі реалізації ланки другого порядку. Нехай

(5.7)

або

Переходячи від зображення до оригіналу і враховуючи, що множення на р у часовій області відповідає операції диференціювання, находимо

звідки

У якості змінних вибираємо i Схеми структурна і електрична, що відповідає останньому рівнянню зображені на рис.5.8 (а,б).

Рисунок 5.8 – ФНЧ – 2–го порядку, побудований за методом змінного стану

У якості основного елемента фільтра вибрані ОП, які за допомогою зовнішніх елементів (R, C) легко перетворюються у інтегратор і суматор.

Зразок смугового фільтра, побудованого на основі методу змінного стану, наведено на рис. 5.9. Цей фільтр набагато складніший у порівнянні з фільтрами на ДНКН, але такі фільтри широко застосовуються завдяки підвищеній стійкості і легкості регулювання.

Не дивлячись на велику кількість елементів, фільтр, що побудований на основі методу змінного стану, є найбільш вдалою схемою для реалізації високодобротних смугових фільтрів. Він відзначається малою поелементною чутливістю, не висуває вимог до смуги пропускання ОП, а також зручний у настроюванні. Наприклад, в схемі, що наведена на

Рисунок 5.9 – Фільтр на основі методу змінного стану

рис.5.9, і використовується у якості смугопроникального. За допомогою двох резисторів встановлюється центральна частота смуги пропускання , у той час як резистори i cпільно визначають добротність Q і коефіцієнт підсилення в смузі пропускання

Цей фільтр може бути зроблений таким, що перестроюється з фіксованою добротністю, при використанні у якості резистора двосекційного змінного резистора. З другого боку, змінним можна зробити резистор , при цьому отримаємо фільтр з фіксованою частотою і змінною добротністю (і на жаль зі змінним коефіцієнтом підсилення).

Найбільш близькі до фільтрів на основі методу змінного стану так звані біквадратні фільтри, рис.5.10.

Особливістю такого фільтра є можливість регулювання його частоти (за допомогою ) при зберіганні сталості ширини смуги пропускання. Розрахункові рівняння:

Сама добротність Q визначається як і дорівнює При зміні значення центральної частоти пропорційно змінюється і добротність Q при цьому зберігається незмінною.

Рисунок 5.10 – Біквадратний фільтр

У випадку проектування біквадратного фільтра необхідно виконати таку послідовність дій:

1. Вибрати ОП з шириною смуги, яка у 10 – 20 разів перевищує добуток

2. Підібрати заокруглений номінал конденсатора, ближчий до такого значення

3. Використати перше наведене вище рівняння для розрахунку опору і відповідно друге для обчислення за заданим значенням ширини смуги номінала опору .

4. Згідно з третім рівнянням отримати значення опору

Слід відзначити, що кожний з опорів ,i є навантаженням для ОП, і тому їх номінали не повинні бути менші за 5 кОм.

Припустимо, що необхідно розрахувати смуговий фільтр з параметрами Задамося потім визначимо () і () і зрештою ().

Якщо розрахункові значення резисторів виходять дуже великі або малі, то необхідно підібрати інший номінал конденсатора.

Для отримання смугових фільтрів високого порядку необхідно зробити каскадне з'єднання кількох фільтрів низького порядку, комбінуючи їх таким чином, щоб забезпечити характеристику фільтра, що вимагається. У такому випадку, як і раніше, фільтр Баттерворта має «максимально плоску» АЧХ, у той час як фільтр Чебишева задовольняє вимоги крутого зламу АЧХ в перехідній області. Збільшення крутості АЧХ шляхом підключення додаткових секцій призводить, як правило, до погіршення перехідної і фазової характеристик.

5.8 Подвійний Т–подібний фільтр

Відомі подвійні Т–подібні фільтри, що випускаються у вигляді готових модулів для діапазону частот від 1 Гц до 50 кГц з глибиною послаблення на частоті провалу близько 60 дБ. Такі фільтри використовують пасивний подвійний Т–подібний фільтр, рис. 5.11, який має нескінченне придушення на частоті . Такий фільтр діє так ефективно тому, що має місце підсумовування двох сигналів, які на частоті зрізу мають різницю фаз 180⁰. Отримання необхідної характеристики вимагає доброго узгодження елементів. Для отримання глибокого і стабільного

Рисунок 5.11 – Пасивний подвійний Т–подібний фільтр

провалу АЧХ слід вибирати конденсатори і резистори зі стабільними параметрами і малою температурною залежністю. Збільшення крутості провалу відбувається при збільшенні підсилення у колі зворотного зв'язку, рис.5.12.

5.9 Фільтри на основі принципу інверсії імпедансу

Схема смугового фільтра, що реалізує принцип інверсії імпедансу наведена на рис.5.13.

Величина еквівалентної індуктивності визначається за виразом

Резонансна частота фільтра дорівнює:

Опір шунтувального резистора , що визначає еквівалентний резонансний опір контуру, дорівнює:

Застосування гіраторів дозволяє значно спростити конструкцію деяких пристроїв, наприклад, еквалайзерів. На низьких частотах такі пристрої вимагають дуже великого значення індуктивності. Так, для частоти при ємності контуру величина еквівалентної індуктивності дорівнює Гіраторна схема малочутлива до відхилення параметрів елементів, що її утворюють.

Рисунок 5.12 – Т–подібний фільтр зі стежним зв’язком

Рисунок 5.13 – Схема електрична принципова смугового фільтра, що реалізує принцип інверсії імпедансу

5.10 Фільтри на основі конденсаторів комутування

Відомий спосіб побудови інтеграторів, які складають основу біквадратних фільтрів і фільтрів на основі методу змінного стану. Основна його ідея полягає у використанні аналогових МДН–ключів, що синхронізуються зовнішнім сигналом прямокутної форми і високої частоти, як правило, у 100 разів вищої, ніж у аналогових сигналів, що обробляються. На рис.5.14(а,б) наведено схеми інтеграторів на конденсаторах комутування.

При увімкненні ключа S 1 має місце заряд конденсатора С 1 до напруги , тобто він зберігає заряд у другій половині робочого циклу конденсатор С 1 розряджається через віртуальну землю, передаючи свій заряд конденсатору С 2. Сама напруга на конденсаторі С 2 змінюється, відповідно, на величину Слід відзначити, що вихідна напруга змінюється протягом кожного циклу ВЧ прямокутного коливання

Рисунок 5.14 – Схеми інтеграторів на конденсаторах комутування, а – на перемикних конденсаторах; б – звичайний інтегратор

пропорційно напрузі (зміна якого за один період керуючого коливання передбачається дуже незначною), тобто ця схема є інтегратором напруги вхідного сигналу

Застосування конденсаторів комутування, замість звичайних інтеграторів дає такі переваги. Перше, такий фільтр дозволяє застосовувати більш дешеві конденсатори, оскільки коефіцієнт передачі такого інтегратора залежить тільки від співвідношення конденсаторів С 1 і С 2, а не від їх значень, у той час як отримання резисторів і конденсаторів з точним значенням і високою стабільністю є досить складним. Друге полягає у можливості перестроювання частоти фільтра зміною частоти керуючого коливання, оскільки характеристична частота біквадратного фільтра, чи йому подібного, залежить тільки від коефіцієнта передачі інтегратора.

Мають такі фільтри і деякі недоліки. Перше, це наскрізне проходження сигналу тактової (керуючої) частоти, але звичайно це не має значення, оскільки цей сигнал значно віддалений від смуги, яку займає сигнал, що обробляється. Друга проблема, якщо у вхідному сигналі присутні спектральні компоненти, що знаходяться поблизу тактової частоти, то вони будуть накладатися на смугу пропускання. Для усунення цього явища у вхідному сигналі не повинно бути означених складових. Це може бути забезпечено застосуванням звичайного RC –фільтра. І третє – це зниження динамічного діапазону сигналу за рахунок зростання рівня шуму.

5.11 Фазові коректори (ланки)

Фазові ланки – це пристрої, де на заданій частоті фаза вихідного сигналу отримує зсув відносно вхідного на визначене значення, при цьому модуль коефіцієнта передачі не змінюється у всьому робочому діапазоні частот.

Як показано вище, коефіцієнт передачі фазової ланки першого порядку має вигляд

де ,

Дата добавления: 2014-01-06