Дифференцирование операторов по времени

Вычисление средних значений. Обозначения Дирака

Свойства d- функции.

Функция везде равна нулю за исключением точки x = a, где она обращается в бесконечность:

или

a

x

d-функция

Интеграл от d- функции равен единице (бесконечность с мощностью равной 1):

или

Геометрически d-функцию можно рассматривать как предел максимума, стремящегося к бесконечности в точке a и сохраняющего площадь под кривой равной единице. Важное свойство d- функции состоит в том, что она “вырезает” из функции в подынтегральном выражении значение этой функции в точке a

Последнее условие и нормировка позволяет получать коэффициенты.

Поскольку вероятность найти частицу в элементе объема dV равна, то можно определить средние значения различных физических величин. Напомним, что среднее значение, например координаты, определяется выражением

где вероятность значения dW определяется через плотность вероятности. Аналогично получаем для средних значений координаты в состоянии, определяемой волновой функцией ^,

Если волновая функция уже нормирована, то среднее значение координаты равно

Выражение для среднего значения любого оператора имеет вид

Волновую функцию можно разложить по собственным функциям оператора (). Тогда

(2.57)

Таким образом, среднее значение оператора определяется суммой собственных значений этого оператора, взятых с весовыми множителями, определяющими вероятность реализации данного собственного состояния n в волновой функции.

Для того, чтобы сделать запись квантово-механических выражений более компактной удобно ввести обозначения Дирака, которыми мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Обозначения Дирака:

1) для волновой функции вводятся обозначения:

;

2) для матричного элемента оператора - =;

3) ортонормируемость записывается, как;

4) эрмитовость означает, что;

5) полнота системы функций записывается в виде.

В этих обозначениях выражения для разложения волновой функции и среднего значения оператора (2.56) значительно упрощаются:

.

Запишем условие равенства среднего значения производной оператора по времени производной от среднего значения

. (2.58)

Используя нестационарное уравнение Шредингера, получим

Таким образом,

(2.59)

Если оператор физической величины не зависит явно от времени, то

(2.60)

Отсюда следует, что среднее значение производной оператора, коммутирующего с гамильтонианом, равно нулю. Такие величины называются сохраняющимися величинами. Очевидно, что сохраняющейся величиной является полная энергия системы, т.к. гамильтониан всегда коммутирует сам с собой. Поэтому, для того, чтобы среднее значение физической величины сохранялось, необходима коммутация квантового оператора этой величины с гамильтонианом.

Глава 3. Уравнение Шредингера в одном измерении

Дата добавления: 2014-01-07