Линейные операторы

Линейные операторы. Собственные вектора и собственные числа.

Пусть дано два линейных пространства R_n и R_m. Говорят, что на линейном R_n пространстве задана функция f со значениями в R_m или, что задано отображение f линейного пространства R_n в R_m,если каждому вектору х из R_n поставлен в соответствие вектор у из R_m.

Пишут .

ОПР8.1. Отображение А: R_n → R_m называется линейным или линейным оператором, если для любых векторов х и у из R_n и любых действительных чисел α и β, выполняется условие:

.

Замечание: это соотношение эквивалентно двум:

.

В пространстве R_n выберем базис e_i (i=1..n), а в R_mбазис f_j (j=1...m). Подействуем оператором А на каждый базисный вектор e_i из R_n. В результате получим n векторов Аe_i в пространстве R_m. Разложим их по базису f_j: .

Из чисел a_ik образуем матрицу, записав в её столбцы координаты вектора Аe_i .

ОПР.8.2 А: R_n → R_mлинейным или линейным оператором, называется, такая квадратная матрица, под действием которой любой вектор х Î R_n, преобразуется в вектор уÎ R_n

.

Дата добавления: 2014-01-07