Определение случайной функции

Определение 1.1. Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированием значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X (t), Y(t) и т. д.

Например, если U - случайная величина, то функция X(t) = t²U -случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция являете случайной величиной: при t₁ = 2 получим случайную величину X₁ = 4U, при t₂ =1,5 - случайную величин X₂ = 2,25 U и т.д.

Определение 1.2. Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t²U, приведенной выше, при значениях, аргумента t² = 2 и t₂ = 1,5 были получены соответственно случайные величины Х₁= 4U и X₂ = 2,25 U, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {X(t)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.

Определение 1.3. Реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайной функции X (t) называют неслучайную функцию аргумента t, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X (t) обозначают строчными буквами x₁(t), x₂(t) и т. д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = Usint, где U - непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение u₁ = 3, а во втором испытании u₂= 4,6, то реализациями X (t) являются соответственно неслучайные функции х₁ (t) = 3 sin t и х₂ (t) = 4,6 sin t.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее воз­можных реализаций.

Определение 1.4. Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время.

Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры - случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X(t) = sin W, где W - случайная величина,

X(t) = U sin t, где U - случайная величина,

X(t) = U sin Wt, где W и U - случайные величины.

Определение 1.5. Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты t₁, t₂,... t_i..., число которых конечно или счетно. Множество T является дискретным.

Примеры процессов с дискретным временем: 1) процесс работы ЭВМ, которая может менять свои состояния в моменты t₁, t₂,... t_i..., определяемые тактом работы машины; 2) процесс работы технического устройства, которое осматривается в моменты t₁, t₂,.... и переводится в результате осмотра из одной категории в другую; 3) процесс обстрела цели в моменты t₁, t₂,..., в ходе которого цель может менять свои состояния (не повреждена, частично выведена из строя, перестала функциони­ровать, полностью разрушена и т. п.). Если рассматривается одномерный случайный процесс X(t) с дискретным временем (моменты t₁, t₂,...), то его сечения в эти моменты образуют последовательность случайных величин: X(t₁), X(t₂),... В качестве аргумента последовательности может быть выбран номер значения момента перехода: Х(1), Х(2),...

Определение 1.6. Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент t наблюдаемого периода t.

Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, когда систе­ма меняет свое состояние, несчетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый участок оси абсцисс). Примеры случайных процессов с непрерывным временем: 1) X(t) - число отказов технического устройства от начала работы до момента t; 2) броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа; 3) число N(t) заболевших в данном городе в ходе развития эпидемии к моменту t.

Определение 1.7. Одномерный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент t представляет собой не дискретную, а непрерывную (или смешанную) случайную величину и, значит, множество ее значений X (кси) несчетно. Аналогично, многомерный (векторный) случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом t множество возможных значений случайного вектора, определяющего состояние системы S, в которой протекает процесс, несчетно. Примеры случайных процессов с непрерывными состояниями: 1) напряжение U(t) питания ЭВМ в момент t; 2) давление газа P(t) в заданном резервуаре в момент t; 3) координаты частицы, совершающей броуновское движение X(t), Y(t), в момент t (двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями); 4) параметры, характеризующие в момент t состояние космической ракеты, выводимой на орбиту (многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями).

Определение 1.8. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени t множество его состояний конечно или счетно; другими словами, если его сечение в любой момент t характеризуется дискретной случайной величиной X(t) (в многомерном случае - несколькими дискретными случайными величинами).

Разумеется, все случайные процессы с «качественными» состояниями относятся к категории процессов с дискретными состояниями; сечение такого процесса представляет собой случайное событие - аналог дискретной случайной величины.

Таким образом, в зависимости от характера множества Т значений аргумента t, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества X самих состояний все случайные процессы можно разделить на четыре класса:

1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем.

16. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем.

26. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Дата добавления: 2014-01-07