Отношения порядка

Определение 1: Отношение порядка – отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Определение 2: Отношение на называется отношением частичного порядка, если оно обладает свойствами антисимметричность и транзитивность. Множество в таком случае называется частично порядочным.

Определение 3: Если – отношение частичного порядка и оно дополнительно обладает свойством рефлексивности, то это отношение нестрогого частичного порядка.

Для такого отношения можно использовать (предпочтительнее или совпадает с ) вместо

Определение 4: Если – отношение частичного порядка и оно дополнительно обладает свойством антирефлексивности, то это отношение строгого частичного порядка.

Для такого отношения можно использовать (предпочтительнее с ) вместо

Отношение частичного порядка допускает, что ,такие и не сравнимы друг с другом, по этому отношению частичного порядка.

Определение 5: Если в отношение частичного порядка обладает дополнительно свойством, что и сравнимы друг с другом, то это отношение линейного порядка.

Пусть дано частично упорядоченное множество , на котором задано отношение частичного порядка .

Наименьшим элементом множества называется такой элемент , что . Обозначение .

Наибольшим элементом множества называется такой элемент , что . Обозначение .

Не для всякого множеств существуют наибольший и наименьший элементы. Из определения следует, что существуют лишь при нестрогом порядке обладающем рефлексивностью.

Пусть дано частично упорядоченное множество и его подмножество .

Минорантой подмножества называется такое , что .

Замечание: Элемент может принадлежать или не принадлежать подмножеству .

Мажорантой подмножества называется такое , что .

У подмножества может быть несколько минорант, обозначим множество таких минорант .

Если в существует наибольший элемент, то он называется точной нижней гранью и обозначается .

У подмножества может быть несколько мажорант, обозначим множество таких мажорант .

Если в существует наименьший элемент, то он называется точной верхней гранью и обозначается .

Пример:

Возьмем подмножества

Дата добавления: 2014-01-07