Системы счисления

Арифметические основы ЭВМ

Арифметическая обработка чисел во многом определяется системами счисления, представляющими собой совокупность используемых цифр и набором правил, позволяющих однозначно представлять числовую информацию.

В своей повседневной деятельности человек использует различные системы счисления, к числу которых относятся десятичная система счисления, римская система, система исчисления времени и т.д. Все системы счисления можно подразделить на позиционные и непозиционные.

В не позиционных системах счисления «доля» цифры или её вес в количественном измерении записанного числа не зависит от местоположения данной цифры в записи этого числа. Типичным примером такой системы счисления является римская система счисления. В этой системе используются цифры:

I V X L C D M и т.д. - римские цифры;

1 5 10 50 100 500 1000 - десятичные эквиваленты. римским цифрам.

При количественной оценки числа его значение определяется как сумма значений цифр, составляющих запись числа, кроме пар, состоящих из цифры меньшего веса, предшествующей цифре большего веса, значение которой определяется как разность веса большей и меньшей цифр. Например, значение числа

МММСМLIX

определяется как сумма

1000 + 1000 + 1000 +(1000-100) + 50 + (10- 1), что соответствует десятичному эквиваленту 3959.

Позиционная система счисления характеризуется тем, что «доля» некоторой цифры в количественной оценки записанного числа определяется не только видом цифры, но и местоположением (позицией) данной цифры в записи числа, т.е. каждая позиция (разряд) в записи числа имеет определенный вес.

Количественная оценка записанного числа в такой системе счисления определяется как сумма произведений значения цифр, составляющих запись числа, умноженных на вес позиции, в которой располагается цифра.

Примером такой системы счисления является широко используемая десятичная система счисления. Например, количественная оценка десятичного числа

3959₁₀

определяется как

3*1000+9*100+5*10 +9*1, где 1000, 100, 10, 1 - соответственно веса четвертого, третьего, второго, первого разрядов записи оцениваемого числа.

Десятичная система счисления является также системой с равномерно распределенными весами, которые характеризуются тем, что соотношение весов двух любых соседних разрядов имеют для такой системы одинаковое значение. Это соотношение называется основанием системы счисления, которое в дальнейшем будем обозначать как «q».

Общая запись числа в системе с равномерно распределенными весами имеет вид

N_q = А_n А _n-1.... А₂ А ₁ А ₀. (1)

Значение такого числа определяется как

N_q = А _n *qⁿ + А _n-1*q ^n-1 + А _n-2*q ^n-2 +..... А ₂ *q ²+ А ₁ *q ¹ + А ₀ *q ⁰, (2)

где А _i - цифра записи числа, удовлетворяющая условию

0<= А _i <=(q-1);

q - основание системы счисления.

При q =10 А изменяется в диапазоне от 0 до 9, т.е. до (10-1).

Запись числа N в виде (1) называется кодированной, а запись в форме (2) называется расширенной записью.

Помимо q=10 (десятичная система счисления) возможны другие значения для основания системы счисления:

- двоичная система счисления;

- восьмеричная система счисления;

- шестнадцатеричная система счисления и т.д.

Для обозначения цифр в различных системах счисления в качестве цифр используются обозначение соответствующих цифр десятичной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в случае, когда десятичных цифр «не хватает» (для систем счисления с основанием q, большим чем 10), для цифр, превышающих 9, вводятся дополнительные обозначения, например, для q =16 это будут обозначения А, В, C, D, E, F, которые соответствуют шестнадцатеричным цифрам, десятичные эквиваленты которых равны, соответственно 10, 11, 12, 13, 14, 15.

В связи с тем, что в дальнейшем изложении будут использоваться различные системы счисления, примем обозначение:

N_q - число N, представленное в системе счисления с основанием q.

Примеры записи чисел в различных системах счисления:

N ₂ = 10011011 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³+ 0*2² + 1*2¹ +1*2⁰,

N ₈= 471025 =4*8⁵ + 7*8⁴ + 1*8³ + 0*8² + 2*8¹+5*8⁰,

N ₁₆= 84FE4A= 8*16⁵ + 4*16⁴ + F*16³ + E*16² + 4*16¹ +A*16⁰,

N₁₀ = 35491 = 3*10⁴ + 5*10³ + 4*10² + 9*10¹ + 1*10⁰.

На основании вышеизложенного можно заключить, что запись одного и того же числа в различных системах счисления будет тем длиннее, чем меньше основание системы счисления. Например, число N, десятичное значение которого равно 2063, в различных системах счисления представляется как

N = 2063₁₀ = 100000001111₂=4017₈ = 80F₁₆.

При работе с различными сиcтемами счисления полезно помнить соотношения, приведенные в таблице 1.1‑1 и таблице 1.1‑2.

Таблица 1.1‑1

n

2^n

Человек в своей практической деятельности наиболее часто использует десятичную систему счисления. Двоичная система счисления является удобной для обработки информации в ЭВМ. Промежуточное место между этими системами занимает двоично-десятичная система счисления. Эта система в принципе является десятичной, но отдельные десятичные цифры в ней записываются в виде набора двоичных разрядов. Существуют различные двоично-десятичные системы,

Таблица 1.1‑2

N п.п.	q=2	q=8	q=16	q=10	Десятичный эквивалент	Двоичный эквивалент
			A
			B
			C
			D
			E

которые, отличаются способом представления набором двоичных разрядов десятичных цифр. Наиболее широкое распространение получила двоично-десятичная система 8,4,2,1. Данная система характеризуется тем, что отдельные десятичные цифры в ней представляются их четырех битовым двоичным эквивалентом, как это показано в таблице 1.1-2.Например, десятичное число

в двоично-десятичной системе 8,4,2,1 представляется в виде

1000 0000 0100 0111 0001 0100.

В дальнейшем для сокращения будем использоваться название «двоично-десятичная система», имея в виду двоично-десятичную систему 8,4,2,1.

Дата добавления: 2014-01-07