Арифметика с плавающей точкой

Представление чисел с плавающей точкой

При представления числа с плавающей точкой число в общем случае представляет собой смешанную дробь и имеет формат, приведенный на рис. 1.7-1.

1р.

2р.

3р.

....

к р.

«..»

(к+1) р.

(к+2) р.

....

(n+1) р.

n р

Рис. 1.7‑1

Местоположение точки в записи числа может быть различным, а так как сама точка в записи числа не присутствует, то для однозначного задания числа необходима не только его запись, но и информация о том, где в записи числа располагается точка, отделяющая целую и дробную части.

Поэтому в случае с плавающей точкой число Х представляется в виде двух частей:

мантисса (х_м), отображающая запись числа - представляется в виде правильной дроби с форматом фиксированной точкой;

порядок (х_п), отображающий местоположения в этой записи положение точки - представляется в виде целого числа с форматом фиксированной точки.

Количественная оценка числа Х определяется как

Х = q^xп * х_м. ,

где q - основание счисления.

Для двоичной системы счисления имеет место

Х = 2^xп * х_м.

При s- разрядном представлении модуля записи мантиссы и k-разрядном представлении модуля записи порядка форма с плавающей точкой обеспечивает диапазон изменения абсолютного значения числа А, для которого выполняется неравенство:

2^{ú хпúмах.} *úхú _{м мах} =2^P *(1-2^-S)>=úХú>= 0,

где P = 2^k-1.

В ЭВМ числа с плавающей точкой представляются в так называемой нормализованной форме, при которой в прямом коде мантисса нормализованного числа в старшем разряде модуля имеет ненулевое значение, а для двоичной системы счисления - нормализованная мантисса должна иметь в старшем разряде модуля прямого кода значение 1, т.е. для двоичной системы мантисса должна удовлетворять неравенству:

1>úx_mú >=0.5.

Для плавающей точки максимальные значения абсолютной и относительной ошибок определяются следующим образом:

максимальная абсолютная ошибка представления чисел:

d _max = D _max / А_min = 2^-(s+1) * 2^p /(х_{м мин}*2^p)= 2^-(s+1) * 2^p /(2^-1 *2^p)=

= 2^-(s+1) /(2^-1)= 2^-s.

Отсюда видно, что относительная ошибка при представлении чисел в форме с плавающей точкой существенно меньше, чем в случае с фиксированной точкой. Это, а также больший диапазон изменения представляемых чисел, является основным преимуществом представления чисел с плавающей точкой.

Операция сложения.

Операция сложения чисел предполагает наличие одинаковых масштабов складываемых величин. Для случая представления чисел с плавающей точкой это предполагает наличие одинаковых порядков у операндов, подлежащих суммированию. Поэтому при выполнении операции сложения чисел с плавающей точкой в общем случае должно быть реализовано три этапа:

- выравнивание порядков;

- сложение мантисс операндов, имеющих одинаковые порядки;

- определение нарушения нормализации и при необходимости её устранение.

Пример

Найти разность С1 чисел А и В, представленных с плавающей точкой, если А и В представлены в виде порядков, соответственно [а _п]_пк и [в _п] _пк и мантисс, соответственно [а _м] _пк и [в _м] _пк,

где [а _п]_пк = 1.001, [а _м] _пк = 1.11001,

[в _п] _пк = 0.001, [в _м] _пкр= 0.11100.

При выполнении операций использовать дополнительный модифицированный код.

Решение

Начнем с выравнивания порядков.

Для этого из порядка первого числа вычитается порядок второго числа:

1.111 [а _п]_дк

+ 1.111 [-в _п] _дк

1.110 - разность порядков в дополнительном коде,

1.010 - разность порядков в прямом коде.

Так как знак разности порядков отрицательный, то в качестве общего порядка, а следовательно, и предварительного значения порядка искомого результата С1_п`, берется порядок второго числа (в_п). Для того чтобы взять в качестве порядка первого числа порядок второго числа, т.е. увеличив его порядок на 2, необходимо мантиссу этого меньшего числа умножить на 2^-2, т.е. выполнить её арифметический сдвиг на два разряда вправо.

Таким образом, будем иметь после выравнивания следующую форму представления операндов:

[а _м`] _пк = 1.00110,

[в _м`] _пк = 0.11 1 00.

После выравнивания порядков можно определить предварительное значение мантиссы С1` как

С1` = [а <sub>м</sub>] <sub>пк</sub> ` - [в _м] _пк`.

11.1 1 01 0 -[а _м`] _мдк

+ 1 1.0 01 0 0 - [-в _м`] _мдк

110.1 1 1 1 0 - [С1’] _мдк.

10.0 0 0 1 0 - [С1’] _мпк,.

Из записи [С1`]_дк, полученной после вычитания мантисс операндов с выравненными порядками, видно, что нормализация представления результата нарушена. Поэтому для данного примера необходимо выполнить этап устранения нарушения нормализации.

В данном случае нарушение нормализации слева от точки, так как получено [С1`]_пк с не нулевой целой частью (неодинаковые разряды в поле знака использованного модифицированного дополнительного кода). Для того чтобы привести полученную предварительную мантиссу к нормализованной форме, достаточно её разделить на 2, то есть выполнить её арифметический сдвиг вправо. В результате будем иметь окончательное значение мантиссы:

С1 = С1` *2^-1=10.00010*2^-1= 11.10001.

Деление мантиссы С1` на 2 сопровождается изменением ранее найденного предварительного значения порядка результата С1<sub>п</sub>` на +1.

0 0.001 [с1 _п] _мпк `

+ 00.001 +1

00.010 [с1 _п] _мпк

После устранения нарушения нормализации окончательный результат будет иметь вид:

С1à{ [c1 _п ] _пк =00.010, [c1 _м ] _пк = 11.10001}.

Операция умножения

С точки зрения представления чисел с плавающей точкой поиск произведения

С2 =А * В

сводится к поиску С2 _п и С2_м, соответственно порядку и мантиссе произведения на основании порядка а _п и мантиссы а _м множимого и порядка в_п и мантиссы в_м множителя. Учитывая общую запись чисел с плавающей точкой, произведение двух операндов представляется в виде

С2 =А*В= 2 ^{а п} * а _м * 2 ^{в п} * в_м =2 ^{а п+вп} * а _м * в_м =2 ^с2п *с2 _м,

откуда вытекает, что порядок произведения определяется как сумма порядков сомножителей, а мантисса произведения - как произведение мантисс сомножителей. Однако, учитывая то, что при умножении мантисс может произойти нарушение нормализации, в результате указанных действий будет найдено предварительное значения порядка и мантиссы искомого произведения и окончательное значение произведения будет найдено только после устранения нарушения нормализации.

Таким образом, имеем:

С2_п ` = а _п +в _п;

С2 _м `= а _м * в_м.

Отсюда последовательность действий, обеспечивающих получение произведение двух чисел, заключается в следующем:

- определяется знак произведения как сумма по модулю два знаковых разрядов мантисс сомножителей;

- определяется предварительное значение порядка произведения посредством суммирования порядков сомножителей;

- определяется предварительное значение мантиссы произведения как произведения мантисс операндов;

- устраняется нарушение нормализации мантиссы произведения (если нарушение имеет место) соответствующей корректировкой предварительного значения порядка и мантиссы искомого произведения.

При формировании мантиссы произведения нормализованных чисел с плавающей точкой возможен только один вид нарушения нормализации - нарушение нормализации справа от точки с появлением нуля только в старшем разряде мантиссы.

Пример

Найти произведение С2 числа А и В, представленных с плавающей точкой, если А и В представлены в виде порядков, соответственно [а_п]_пк и [в_п]_пк и мантисс, соответственно [а_м] _пк и [в_м] _пк,

где [а_п]_пк = 1.010, [а _м]_пк = 1.1010,

[в_п]_пк = 0.001, [в _м]_пкр= 0.1001.

При выполнении операций использовать обратный код. При умножении мантисс использовать метод умножения, начиная со старшего разряда множителя со сдвигом промежуточного результата.

Решение

Знак искомого произведения, представляемого знаком его мантиссы, отрицательный, так как знаки мантисс сомножителей неодинаковые.

Предварительное значение порядка произведения определяется следующим образом:

С2_п*=а _п +в _п:

11. 101 [а _п]_мок

+ 00.001 [в _п] _мок

11.110 [С2 _п`] _мок

11.001 [С2 _п`] <sub>мпк</sub>, т.е. [С2 <sub>п</sub>`] _пк = 1.001.

Абсолютное значение предварительного значения мантиссы произведения определяется следующим образом:

[С2 _м]*:

0.1010 -úа _мú

* 0.1001 -úв _мú

.0000 - начальное значение промежуточного произведения

+ 1010 - первый младший разряд множителя равен единицы

1010 - промежуточное произведение с учетом первого разряда

01010 - сдвинутое промежуточное произведение

001010 - второй разряд множителя равен нулю, поэтому выполняется

. только сдвиг

0001010 - третий разряд равен нулю, поэтому выполняется только сдвиг.

+ 1010 - четвертый разряд равен единицы

1011 010 - промежуточное произведение с учетом старшего разряда

01011 010 -сдвинутое промежуточное произведение.

Таким образом,

[С2 _м`] _пк = 0. 01011010,

с учетом округления имеем

[С2 _м] = 0.1 011.

Мантисса произведения ненормализованная, поэтому необходимо сдвинуть мантиссу влево на один разряд, а предварительное значение порядка произведения уменьшить на единицу. После нормализации окончательное значение мантиссы и порядка произведения имеем с учетом ранее полученного знака:

[С2 _м]_п = 1.1011.

[С2_п]_п = 1.010.

Операция деления.

С точки зрения формирования частного представления чисел с плавающей точкой поиск частного С3 =А/В сводится к поиску С3_п и С3_м, соответственно порядку и мантиссы частного на основании порядка а_п и мантиссы а_м делимого и порядка в_п и мантиссы в_м делителя. Учитывая общую запись чисел с плавающей точкой, произведение двух операндов представляется в виде

С2 = А/В = 2 ^{а п} * а _м /(2 ^{в п} * в_м) = 2 ^ап-вп *(а _м / в_м) = 2 ^сп *с_м,

Отсюда следует, что порядокчастного определяется как разность порядка делимого и делителя, а мантисса - как частное от деления мантиссы делимого на мантиссу делителя. Однако, учитывая то, что при делении мантисс может произойти нарушение нормализации, в результате указанных действий будет найдено предварительное значения порядка и мантиссы искомого частного. Окончательные значения порядка и мантиссы частного будут определены после устранения нарушения нормализации в предварительном результате.

При формировании мантиссы частного нормализованных чисел с плавающей точкой возможно только один вид нарушения нормализации - нарушение нормализации слева от точки.

Пример

Найти частное С3 от деления чисел А на В, представленных с плавающей точкой, если А и В представлены в виде порядков, соответственно [а_п]_пк и [в_п]_пк и мантисс, соответственно [а_м]_пк и [в_м]_пк,

где [а_п]_пк = 1.010, [а _м] _пк = 1.1010,

[в_п]_пк = 0.001, [в_м]_пк= 0.1001.

При выполнении операций использовать обратный код. При делении мантисс использовать метод деления без восстановления остатка. При вычитании порядков и формирования мантиссы частного использовать модифицированный обратный код.

Решение

Знак искомого произведения, представляемого знаком его мантиссы, отрицательный, так как знаки мантисс сомножителей не одинаковые.

Предварительное значение порядка [С3 _п*] _ок частного определяется следующим образом:

С3_п`=а _п - в _п:

11.101 [а _п]_мок

+ 11.110 [в _п] _мок

111.011

+ 1

11.11 [С3 _п`] <sub>мок</sub>, т.е. [С3<sub>п</sub>`] _пк = 1.011.

11.12

Абсолютное значение предварительного значения мантиссы частного ищется за счет выполнения шести тактов деления следующим образом:

00.1010 -[úа _м ú]_ок ,

+ 11.0110 - [-úв _мú]_ок ,

100.0000

+ 1 - учет переноса (переполнения знакового поля) при сложении. в обратном коде,..

00.0001 - положительный остаток первого такта,

00.0010 - сдвинутый остаток,

+ 11.0110 - [-úв _мú]_мок ,

11.1000 - отрицательный остаток второго такта,

11.0001 - остаток после арифметического сдвига влево,

+ 0 0.1001 - [úв _мú]_мок ,

11.1010 - отрицательный остаток третьего такта,

11.0101 - остаток после арифметического сдвига влево,

+ 0 0.1001 - [úв _мú]_мок ,

11.1110 - отрицательный остаток четвертого такта,

11.1101 - остаток после арифметического сдвига влево,

. + 0 0.1001 - [úв _мú]_мок ,

100.0110

. + 1

00.0111 - положительный остаток пятого такта

00.1110 - остаток после арифметического сдвига влево,

+ 11.0110 - [-úв _мú]_мок ,

100.0100

+ 1

00.0101 - положительный остаток шестого такта,

00.1010 - остаток после арифметического сдвига влево.

Таким образом, учитывая знаки остатков, полученных на шести тактах, абсолютное предварительное значение мантиссы искомого частного равно:

[ú С3_м`ú]_п= 1. 00011,

с учетом округления:

[ú С3_м`ú]_п = 1. 0010.

Мантисса частного не нормализованная (нарушение нормализации слева от точки), поэтому необходимо сдвинуть мантиссу вправо на один разряд, а предварительное значение порядка частного увеличить на единицу. После нормализации окончательное значение мантиссы и порядка частного равны:

[С3 _м]_п = 0.1001,

[С3_п]_п = 0.000.

Дата добавления: 2014-01-07