Устойчивость САУ

Устойчивость -это способность системы возвращаться к номинальному режиму, если она отклонилась по каким-то причинам от этого режима.

Требования к устойчивости обязательно для всех САУ.

Строгое определение устойчивости дано А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (конец 19 века)

Пусть динамика системы описывается уравнением

(1)

y - выходная величина

x - входная величина

y⁽ⁱ⁾, x^(j) - производные.

Предположим, что в этой системе существует номинальный режим работы у_н (t), который однозначно определяется номинальным входным воздействием х_н(t) и номинальными начальными условиями.

(2)

Так как номинальные начальные условия (2) на практике трудно выдержать, в системе существует «отклоненные» начальные условия.

(3)

Для номинального режима справедливо уравнение:

(4)

Отклоненным начальным условиям соответствует отклоненный режим.

Для отклоненного режима справедливо уравнение:

(5)

Положим

(6)

Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим (7)

Введем определение.

Номинальный режим у_н(t) устойчив по Ляпунову, если при любых отклоненных начальных условиях (3), достаточно мало отличающихся от номинальных номинальных начальных условий (2), при всех t > 0 будет мало z(t).

Если номинальный режим устойчив по Ляпунову и при этом предел , то номинальный режим называется асимптотически устойчивым.

Если найдутся начальные условия (3), сколько угодно мало отличающиеся от номинальных начальных условий (2), и при этом станет больше некоторой малой, наперед заданной величины, то номинальный режим у_н(t) называется неустойчивым.

Из (7) следует, что поведение z(t) совершенно не зависит от вида входного воздействия х_н(t).

Отсюда следует вывод: либо в системе (1) асимптотически устойчивы все номинальные режимы, соответствующие разным входным х_н (t), либо они все неустойчивы.

Поэтому можно говорить об устойчивости или неустойчивости системы, а не какого-либо одного ее режима.

Это важный вывод, сокращающий объем исследований САУ.

К сожалению, он справедлив только для линейных САУ.

Дата добавления: 2014-01-07