Проекция векторной суммы на ось

Рассмотрим сходящиеся силы , , , , , (рис. 9, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил определяется замыкающей стороной = силового многоугольника (рис. 9, б)

= = + + + + +.

Спроектируем все вершины силового многоугольника ABCDEKL на ось x и обозначим их проекции соответственно a, b, c, d, e, k, l. Проекции сил на ось x изображаются отрезками:

P _{1 x} = ab; P _{2 x} = bc; P _{3 x} = cd;

P _{4 x} = −de; P _{5 x} = ek; P _{6 x} = kl.

Рис. 9

Сумму проекций можно представить в следующем виде:

= P_1x + P_2x + P_3x + … + P_6x =ab + bc + cd − de + ek +kl = al.

Так как al есть проекция равнодействующей силы на ось x, т. е. al = R_x, то

R_x = P_1x + P_2x + P_3x + … + P_6x , (7)

или R_x = _,

где n – число слагаемых векторов.

Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось и равна проекции равнодействующего вектора. В плоскости геометрическую сумму сил можно спроектировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

§ 9. Аналитическое определение величины и направления равнодействующей плоской системы сходящихся сил (метод проекций)

В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Рассмотрим её определение на примере системы сил , , , изображённой на рис.10, а. Равнодействующая этих сходящихся сил построена на рис.10, б:

= + + .

Рис. 10

Проектируя все силы на оси Ox и Oy и используя теорему о проекции векторной суммы (см. § 8), получаем:

R_x = P_1x + P_2x + P_3x = _;

R_y = P_1y + P_2y + P_3y = .

Модуль равнодействующей силы R через её проекции определяется по формуле

R = . (8)

Подставив в уравнение (8) значение проекций R_x и R_y, найдём

R = . (9)

Направление определим по косинусам углов, которые эта сила образует с координатными осями:

(10)

Дата добавления: 2014-01-07