Понятие производной функции комплексного переменного

Теорема.

Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве E плоскости (Z) функция f(Z) равномерно непрерывна на этом множестве.

Отметим, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция f(Z₀) является ограниченной, т. е. существует М > 0, такая, что для любой Z принадлежащей E выполняется неравенство .

Пусть функция W = f(Z) задана на некотором множестве и Z₀, принадлежащая E, предельная точка этого множества. Придадим Z₀=x₀+i·y₀ приращение Δ Z = Δ x+i· Δ y _, чтобы точка Z = Z₀+ Δ Z принадлежала множеству Е. Тогда функция W = u+i·v = f(Z) = u(x,y)+i·v(x,y). Получим приращение Δ W = Δ u+i· Δ v = f(Z₀+ Δ Z) - f(Z₀) = Δ f(Z₀), .

Если существует конечный предел , то он называется производной функции f(Z) в точке Z₀ по множеству E, и обозначается , , , W'.

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f(x) вещественной переменной в точке х₀, x → х₀ вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f(Z), Z может стремиться к Z₀ по любому пути плоскости, ведущему в точку Z₀.

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Дата добавления: 2014-01-07