Числовые характеристики СВ

Пр.4.

Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию , определяющую вероятность того, что СВ Х принимает значение, меньшее, чем х: .

Иногда эту функцию называют функцией накопленной вероятности или кумулятивной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ ≤ 1.

2. - неубывающая функция, т.е. .

3. .

4. .

5. .

6. Если возможные значения СВ Х принадлежат отрезку [a, b], то

График функции распределения даёт наглядное представление о вероятности изменения значений СВ.

Для примера функция распределения и её график имеют вид:

F(x) 0,99 0,89   0 5 50 x

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что она принимает некоторое конкретное значение, а следовательно непрерывную СВ нельзя задать таблично. Поэтому для описания непрерывной СВ может быть использована функция распределения. При этом она является непрерывной неубывающей функцией, изменяющейся от 0 до 1.

Плотностью вероятности (плотностью распределения вероятностей) непрерывной СВ Х называют функцию .

Свойства плотности вероятности:

1. . 2. . 3. . 4. .

Для непрерывной СВ справедливы равенства:

==.

Площадь под графиком кривой плотности вероятности равна единице.

Площадь заштрихованной области на рисунке равна: =.

Вероятность попадания значений СВ в «хвосты» распределения, т.е. в интервалы и , равна 1 – . Т.о. с помощью плотности вероятности можно определить вероятность попадания непрерывной СВ Х в заданный интервал , что имеет большое прикладное значение.

Числовыми характеристиками СВ называют числа, которые описывают СВ суммарно. К таким числовым характеристикам относится математическое ожидание. Оно характеризует среднее ожидаемое значение СВ, т.е. приблизительно равно его среднему значению. Для решения многих задач достаточно знать МО (например, при оценивании покупательной способности населения достаточно знать средний доход).

Математическим ожиданием дискретной СВ называют сумму произведений всех возможных ее значений на их вероятности.

.

Если дискретная СВ принимает счетное множество всевозможных значений, то

Причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Для непрерывной СВ: M(X) =.

Замечание. Мат.ожидание – неслучайная постоянная величина.

Пример 5. Найти мат.ожидание дискретной СВ Х, зная закон ее распределения:

Х
р	0,1	0,6	0,3

Решение. Искомое мат.ожидание М (Х) = 3∙0,1 + 5∙0,6 + 2∙0,3 = 3,9.

Мат.ожидание числа появления события в одном испытании равно вероятности этого события.

Мат.ожидание приближенно равно (тем больше, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.

Замечание. МО больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений СВ.

Свойства математического ожидания:

1. Мат.ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М (С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М (СХ) = СМ (Х).

3. МО суммы 2-х СВ равно сумме МО слагаемых: М (Х + Y) = M (X) + M (Y).

4. МО произведения двух независимых СВ равно произведению их МО:

М (ХY) = M (X) M (Y).

Зная только МО СВ нельзя судить ни о том, какие значения принимает СВ, ни о том, как эти значения рассеяны вокруг мат.ожидания. Т.е. МО полностью не характеризует СВ. Поэтому наряду с мат.ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Например, чтобы оценить, как рассеяны величины вокруг МО, используют дисперсию.

Дисперсией СВ называют мат.ожидание квадрата отклонения СВ от ее МО:

.

При этом для дискретной СВ:

Дата добавления: 2014-01-07