Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х. Такой прогноз называется точечным.

Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки . Стандартная ошибка предсказываемого среднего значения зависимой переменной при заданном значении :

Где - стандартная ошибка регрессии, - остаточная дисперсия.

Величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.

Получаем интервальную оценку прогнозного значения :

Пример 2: Уравнение зависимости затрат на производство от объёма выпускаемой продукции по 7 предприятиям имеет вид: .

; ; , .

При точечный прогноз затрат на производство:

.

Для прогнозируемого значения 95%-ные доверительные интервалы при заданном определены выражением: ,

т.е. .

Т.о. прогноз линии регрессии лежит в интервале: .

Мы рассмотрели доверительные интервалы для среднего значения при заданном

Однако фактические значения варьируются около среднего значения они могут отклоняться на величину случайной ошибки ε, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы Поэтому ошибка прогноза отдельного значения должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S. Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значения составит:

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений при с вероятностью 0,95 составит: или

Получился достаточно большой интервал, т.к. мало наблюдений.

Пусть в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики затраты на производство 8 тыс. ед. продукции не превысят 250 млн. руб. Означает ли это изменение найденной закономерности или затраты соответствуют регрессионной модели?

Точечный прогноз:

Предполагаемое значение – 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250–288,93= –38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t - критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с , поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % – ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значение t -критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.

Дата добавления: 2014-01-07