Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Рассмотрим векторы

Определение 4. Вектор также принадлежит V и называется линейной комбинацией векторов Числа называются коэффициентами этой комбинации.

Определение 5. Комбинация называется тривиальной, если все ; если есть ненулевые коэффициенты, то она называется нетривиальной.

Определение 6.Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Если только тривиальная комбинация равна нулевому вектору, то система называется линейно независимой.

Система, состоящая из одного ненулевого вектора x, линейно независима т. к. возможно лишь при . Система, состоящая из нулевого вектора , линейно зависима, т. к. даже при .

Пример 5. В линейном пространстве любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. Пусть векторы х вектора линейно зависимои коллинеарны. Из этого следует, что существует такое число , что . Тогда – нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору.

Для векторов линейного пространства справедливы следующие утверждения:

1. Если к системе n линейно зависимых векторов присоединить любые m векторов, то получим систему n + m линейно зависимых векторов.

2. Если в системе, содержащей n линейно независимых векторов, убрать любые m векторов (m ‹ n), то оставшиеся векторы образуют линейно независимую систему.

3. Если среди векторов имеются и такие, что , где – число, то векторы линейно зависимы.

4. Если среди векторов имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема 12.1. (Критерий линейной зависимости векторов). Для того, чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Дата добавления: 2014-01-07