Определители и их свойства

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

(1)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

.(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-«, полезно использовать следующее правило треугольников.

+ -

Пример.

Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1°. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. Е.

=

2°. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

== −

3°. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4°. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

= λ

5°. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6°. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n -го столбца (n -ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n -ом столбце (n -ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

=+

8⁰. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель l, то величена определителя не изменится.

Например,

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а ₁ определителя Δ является определитель 2-го порядка

.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) ^p, где р - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Если, например, элемент а ₂ находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для него р =1+2=3 и алгебраическим дополнением является

9⁰. Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.

10⁰. Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.

Как было сказано выше, вернемся к понятию обратной матрицы. Обратная матрица существует не у всякой квадратной матрицы, а лишь у так называемых невырожденных матриц, то есть таких определитель которых отличен от нуля. Для невырожденной квадратной матрицы

третьего порядка обратная матрица А ^-1 может быть вычислена по следующей формуле

здесь Δ – определитель матрицы А, A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы А.

Дата добавления: 2014-01-07