Свойства определенного интеграла. Проведя в точках деления [a,b] прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций

Проведя в точках деления [a,b] прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки x1,x2,…,xт, так что

Определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл. Условия существования

Задача о поиске площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла. Криволинейная трапеция ограничена осью Ох, непрерывной функцией y=f(x), прямыми x=a и x=b, т.е. трапеция расположена над осью Ох. Разделим основание трапеции ¾ интервал [ a,b ] на n частичных интервалов [ x₀,x₁ ],[ x₁,x₂ ],…,[ x_n-1,x_n ], где a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b.

x₀£x₁£x₁, x₁£x₂£x₂, …, x_n-1£x_n£x_n.

Рассмотрим значения ¦(x₁),¦(x₂),…,¦(x_n) и т.д.

В результате, сложив площади всех частичных трапеций, получим площадь криволинейной трапеции

S=S_n=¦(x_i)Dx_i, где Dx_i=x_i-x_i-1.

¦(x_i)Dx_i называется n -й интегральной суммой.

¦(x_i)Dx_i=¦(x)dx называется определенным интегралом, a- нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.

Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.

Теорема существования определенного интеграла. Если функция ¦(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], то ее n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т.е. определенный интеграл ¦(x)dx, не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.

Теорема 1 (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

_,

где u,v,…,w – функции независимой переменной x.

Теорема 2 (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла:

,

где u – функция аргумента x, с – константа.

Теорема 3 (о перестановке пределов). Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит только знак:

.

Если a=b, то, так как .

Теорема 4 (о разбиении интервала интегрирования). Если интервал интегрирования [a,b] разбит на две части [a,c] и [c,b], то

.

Дата добавления: 2014-01-07