Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба

Пусть определена на , .

График называется выпуклым в точке , если кривая лежит под касательной в точке .

График называется вогнутым в точке , если кривая лежит над касательной в точке .

Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции). Пусть имеет непрерывную вторую производную на , тогда: если для каждого , то вогнутая на ; если для каждого , то выпуклая на .

Определение. Точки графика функции, которые отделяют выпуклую часть

графика от вогнутой, называются точками перегиба.

В точках перегиба касательная к графику функции пересекает его с обеих сторон, с одной стороны график лежит над касательной, с другой - под касательной.

Теорема 1. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть - абсцисса точки перегиба графика функции и дважды дифференцируема в точке , тогда .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из того, что ещё не следует, что - абсцисса точки перегиба. Например, для функции , , и при , но точка (0;0) не является точкой перегиба функции .

Теорема 2. (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой этой точки , тогда: если при переходе через точку меняет свой знак, то - абсцисса точки перегиба; если при переходе через точку не меняет знак, то не является абсциссой точкой перегиба.

Дата добавления: 2014-01-07