Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций

Пусть определена на множестве и точка - предельная точка множества D (т.е. любая окрестность точки содержит точки множества D, отличные от точки ). Расстояние между точками и определяется по формуле .

Определение. Число A называется пределом функции при

, если для любого положительного числа найдется число , зависящее от такое, что как только при и .

Замечание.

Неравенство определяет окрестность точки или множество точек , расстояние которых до точки меньше : .

Все правила вычисления и свойства пределов для функции одной переменной справедливы для и функции двух переменных.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

предел этой функции в точке совпадает со значением функции в точке , то есть .

Придадим аргументам и приращения и так, чтобы точки , , и принадлежали области определения функции. Тогда:

- частное приращение функции z по переменной x в точке ;

- частное приращение функции z по переменной y в точке ;

- полное приращение функции в точке .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции, то есть при и .

Данные определения непрерывности функции эквивалентны.

Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве.

Теорема 1. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она ограничена на этом множестве.

Теорема 2. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то на этом множестве она достигает своего наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 3. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве и в двух точках этого множества принимают значения разных знаков, то на этом множестве найдется точка , в которой функция обращается в ноль, то есть .

Дата добавления: 2014-01-07