Применение метода наименьших квадратов (случай линейной зависимости)

На практике часто возникает задача о наилучшем подборе эмпирических функций, позволяющих представить в аналитической форме данные статических наблюдений.

Рассмотрим случай, когда наблюдаются две величины x и y, между которыми предполагается наличие функциональной зависимости . Пусть многочлен имеет степень 1, то есть предполагается линейная зависимость между величинами x и y вида . Параметры a и b необходимо подобрать таким образом, чтобы прямая была расположена как можно ближе к точкам . Пусть – предполагаемое значение.

Если – отклонение экспериментальных точек от предполагаемой прямой, то …

Составим сумму квадратов отклонений .

Потребуем, чтобы эта сумма была наименьшей согласно необходимому условию существования экстремума функции двух переменных. Имеем .

С помощью последней системы, и, имея экспериментальные значения, можно вычислить a и b, что позволит устанавливать приближенную линейную зависимость . Для этого разделим обе части обоих уравнений на число наблюдений п. Получим

. Введём обозначения , тогда система примет вид , где ,

по формулам Крамера.

Пример 1. Пусть имеем данные о размерах покупок y и их розничной цене x

для некоторого товара. Составить уравнение спроса, пользуясь МНК.

Для удобства использования системы (1) составим таблицу:

Тогда , - уравнение спроса.

Дата добавления: 2014-01-07