Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Определение. Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше либо равно степени знаменателя.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель. Интегрирование целой части не представляет труда. Рассмотрим случай интегрирования дробной части в зависимости от вида знаменателя.

Пусть рациональная дробь имеет вид . Тогда возможны случаи. 1. Все корни многочлена действительные и простые, тогда – корни . В этом случае правильная рациональная дробь представляется в виде суммы дробей первого типа следующим образом: .

Пример. .

2. Корни – действительные, причем некоторые из них кратные, тогда , и правильная рациональная дробь представляется в виде суммы дробей первого и второго типа:

.

Пример. .

3. Среди корней есть комплексно-сопряженные корни, то есть , тогда каждому квадратному трехчлену с соответствует дробь третьего типа:

4. Среди корней знаменателя есть комплексно-сопряженные кратные корни, то есть . В этом случае рациональная дробь представима в виде суммы дробей первого, второго, третьего и четвертого типов.

Замечание. Коэффициенты разложения правильных рациональных

дробей на сумму простейших дробей находят методом неопределенных коэффициентов, который заключается в том, что сумма правых частей разложения с неизвестными коэффициентами приводится к общему знаменателю, а затем приравниваются числители левой и правой частей. Составляются уравнение или система уравнений, в которых приравниваются коэффициенты при соответствующих степенях x слева и справа.

Дата добавления: 2014-01-07