Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим соответственно x₁, x₂,…,x_n, расходуются на покупку товаров. Будем рассматривать линейную модель обмена или модель международной торговли.

Пусть – доля бюджета x_j, которую j -я страна тратит на закупку товаров у i -й страны. Если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и

вне её (можно это трактовать как торговый бюджет), то , .

Введем структурную матрицу торговли , сумма элементов её любого столбца равна единице.

Для i –й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли составит .

При условии сбалансированной (бездефицитной) торговли для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. или , (11).

Докажем, что в условиях (11) не может быть знака неравенства. Сложим все неравенства при . Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получим:

Поскольку для , то , откуда возможен только знак равенства: , (12)

Для вектора бюджетов систему уравнений (12) можно записать в матричной форме .

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы A, отвечающий её собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид . Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговли, бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед..

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы A, то есть решить уравнение , которое равносильно однородной системе:

~~~~. Получили , откуда , .

По условию усл. ед., усл. ед., усл.ед. Ответ: бюджет первой страны x ₁=1000 усл. ед., второй страны x ₂=1200усл. ед.

Дата добавления: 2014-01-07