Серия одинаковых и независимых испытаний

Формула Бернулли.

Описание схемы Бернулли: проводится серия n-одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p. Например: монета бросается 10 раз, событие А – выпадет решка при одном подбрасывании. Вероятность события А: p=1/2.

Вероятность того, что в серии из n одинаковых испытаний событие А появиться ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:
P_n(k)=C_n^k p^kq^n-k, где q=1-p.

Доказательство. Пусть событие В - наступило k раз событие А. Вероятность события В зависит от того, наступило или не наступило событие А в каждом отдельном испытании. Введем вспомогательное событие A_i – А наступило в i испытании и - А не наступило в i испытании. Представим событие В с помощью вспомогательных событий:
B=A₁A₂ … A₂…+A₁A₂ …A_k-1kA_k+1k+2…_n…A₁A₂…_n-kA_n-1+1…A_n

В каждом слагаемом ровно k множителей без черточки и n-k множителей с черточкой. Вероятность каждого слагаемого p^kq^n-k, всего слагаемых C_n^k Þ P(B)=C_n^k p^kq^n-k

Замечание. Формулой Бернулли можно пользоваться, когда число испытаний n невелико. Если же число испытаний велико, то вероятности по схеме Бернулли вычисляются приближенно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа.

Дата добавления: 2014-01-07