Свойства математического ожидания. Математическое ожидание константы равно самой константе, М(C)=C xi С pi

Математическое ожидание константы равно самой константе, М(C)=C

xi	С
pi

1) Константу можно рассматривать как случайную величину принимающую значение равное самой константе с вероятностью равной 1, а все остальные значения с вероятностью равною 0. Тогда закон распределения имеет вид:

По определению математического ожидания:

М(x)=Þ М(С)=С×1=С

Определение: Суммой двух случайных величин x и y называется случайная величина z=x+y значение которой есть всевозможные пары x_i+y_i, а соответствующие вероятности p_i·q_i, где p_i – вероятность того, что случайная величина Х принимает значение равное x_i (p_i=P(X=x_i)), а q_i=P(Y=y_i).

Определение: Произведением двух случайных величин x и y называется случайная величина z=x×y значение которой, есть всевозможные пары x_i× y_i, а соответствующие вероятности p_i×q_i (значения будут находиться среди пар, а вероятности все равно перемножаем).

2) Если x и y независимые величины, то математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. М(X+Y)=M(X)+M(Y).

Для краткости доказательства приведем пример если X и Y принимают по два значения. Sp_i=1, Sq_i=1

Составим закон распределения для суммы X+Y

xi	x1	x2
pi	p1	p2

yi	y1	y2
qi	q1	q2

xi+yi	x1+y2	x1+y1	x2+y1	x2+y2
pi × qi	p1 × q2	p1 × q1	p2 × q1	p2 × q2

М(X+Y)=(x₁+y₁)p₁q₁+(x₁+y₂)p₁q₂+(x₂+y₁)p₂q₁+(x₂+y₂)p₂q₂₌x₁p₁(q₁+q₂)+x₂p₂(q₁+q₂)+y₁q₁(p₁+p₂)+y₂q₂(p₁+p₂)=x₁p₁+x₂p₂+y₁q₁+y₂q₂=M(X)+M(Y)

3) Если случайные величины X и Y независимы, то мат. ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий.

xi × yi	x1 × y2	x1 × y1	x2 × y1	x2 × y2
pi × qi	p1 × q2	p1 × q1	p2 × q1	p2 × q2

М(X·Y)=x₁y₁p₁q₁+x₁y₂p₁q₂+x₂y₁p₂q₁+x₂y₂p₂q₂₌x₁p₁(y₁q₁+y₂q₂)+x₂p₂(y₁q₁+y₂q₂)=
=(y₁q₁+y₂q₂)(x₁p₁+x₂p₂)=M(X)×M(Y)

Следствие из этого свойства: Константу можно выносить за знак математического ожидания.

Дата добавления: 2014-01-07