Момент импульса материальной точки и твердого тела

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

5.8. Закон сохранения момента количества движения

Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что

Для замкнутой (изолированной) системы результирующий вектор момента всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю и

или

Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента количества движения: и формулируется следующим образом: если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной осивращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел, если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

5.9. Гироскоп. Гироскопический эффект

Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (рис.5.5).

Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения. Для того, чтобы изменитьнаправление в пространстве оси гироскопа, т.е. направление вектора необходимо в соответствие основным уравнением динамики вращательного движения подействовать на него моментом внешних сил . Пусть это пара сил создающая вращающий момент относительно оси , лежащей в плоскости чертежа перпендикулярно оси ОО (вращение вокруг ). При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием пары сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг оси , ось гироскопа поворачивается вокруг прямой перпендикулярно к этим осям (т.е. к ОО и ). «Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как легко видеть, полностью соответствует законам динамики вращательного движения, т.е. в конечном счете, законам Ньютона. Рассмотрим поведение гироскопа под действием момента силы действующего вдоль оси . За время момент количества движения гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление, как и . Момент количества движения гироскопа спустя время будет равен результирующей , лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг оси (перпендикулярной плоскости чертежа), причем так, что угол между векторами и уменьшится: Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается в конце концов так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (вектор , совпадает по направлению с вектором ).

5.10. Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

(5.11)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

(5.12)

где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

5.11. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Рассмотрим действие внешней силы , приложенной к точке массой . За время элементарная масса проходит путь Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей силы.

Но равна модулю момента силы относительно оси вращения. Работа , и будет положительна, если имеет такое же направление, как и отрицательное, если направление векторов и противоположны.

С учетом, что

Работа всех сил, приложенных к телу

(5.13)

Полная работа

(5.14)

6. Специальная теория относительности. Введение

Уже в динамике Ньютона четко сформулировано выделение движения по инерции среди всех остальных движений. Прямым логическим следствием из первого закона Ньютона является утверждение, что все инерциальные наблюдатели равноправны - в той степени, в какой справедлив первый закон Ньютона.Согласно вполне правдоподобному умозаключению, равноправие наблюдателей распространяется на все другие законы движения и, следовательно, на все другие механические явления. Эйнштейн же распространил это равноправие на все явления вообще, сформулировав знаменитые постулаты:

1. Все физические законы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

2. Скорость света в вакууме равна одной и той же величине во всех системах отсчета и не зависит ни от скоростидвиженияисточника, ни от скоростидвиженияприемника.

6.1. Преобразования Лоренца

Исходя из сформулированных выше постулатов теории относительности Эйнштейна, можно найти законы преобразований, связывающие межу собой пространственные координаты и время в двух системах отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно относительно друг друга.

Пусть х, у, z, и х’, у’, z’ и t’,- координаты и время в инерциальных систем отсчета K и K’, а v - скорость их относительного движения (рис. 6.1).

При этом нет никаких оснований полагать, что время в системе совпадает со временем в системе K, как это безоговорочно принималось в классической физике. Для просторы выкладок выберем направление скорости за направление осей х и . Предположим, что в некоторый момент времени t’ в точке скоординатами происходит некоторый физический процесс, который назовем событием. Нашей задачей является нахождение «координат» события в системе отсчета K’, т.е. нахождение величин х, y, z, t, характеризующих тот же физический процесс в системе K.

Выберем за начало отсчета времени t=0 тот момент, в который начало координат системы K’ совпадало с началом координат системы K. Пусть в момент времени t=0 из начала координат начала распространяться сферическая электромагнитная волна (рис.6.2). В системе K уравнение волновой поверхности имеет вид.

или

(6.1)

Поскольку, согласно принципу относительности Эйнштейна, закон и величина скорости распространения волны должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, наряду с этим уравнением с равным правом можно написать уравнение сферической волны в системе K’.

Так как в начальный момент времени начало координат систем совпадали, то

(6.2)

Формулы преобразования координат и времени должны, во-первых, не нарушать соотношений (6.1) и (6.2), а, во-вторых, быть линейными. Требования линейности связано с однородностью пространства. Т.к. движение системы K’ происходит только вдоль оси х преобразование координат у и z должно иметь вид

Закон преобразования х’ через х можно написать, исходя из следующегосоображения: если в момент времени t=0 начала систем координат K и K’ совпадали, то координата плоскости х’ в системе K запишется х=νt. Следовательно, в самом общем случае можно написать

(6.3)

где коэффициент может зависеть лишь от скорости относительного движения. Не делая никаких произвольных допущений о совпадении времени в двух системах отсчета, мы можем представить t’ в виде линейной однородной функции х и t

(6.4)

Kоэффициенты и могут, вообще говоря, зависеть от скорости v. Если бы оказалось, что , а , то мы вернулись бы к преобразованиям Галилея. Для определения коэффициентов , и , отвечающих Требованиям принципа относительности Эйнштейна, мы должны подставить (6.3) и (6.5) в (6.2). Это дает

Для выполнения тождества необходимо приравнять коэффициенты при х²,t²и хt. Раскрыв скобки и проведя соответствующие преобразования получим:

Из этих трех уравнений находим неизвестные величины , и ,:

При этом всюду мы выбрали положительный знак корня. Подставляя значения , и в преобразования координат (6.3) и (6.4) находим:

(6.5)

Эти формулы носят название преобразований Лоренца. Формулы обратного преобразования от штрихованных к не штрихованным величинам:

(6.6)

Преобразования Лоренца приводят к выводам, коренным образом противоречащим привычным представлениям о свойствах времени и пространства, сложившимся на основе повседневного опыта. Рассмотрим несколько примеров применения преобразований Лоренца.

6.2. Одновременность событий в разных системах отсчета

Пусть в системе K в точках с координатами и происходят одновременно два события в момент времени . Согласно преобразованиям Лоренца в системе K’ этим событиям будут соответствовать координаты

и моменты времени

где

Из написанных формул видно, что в случае, если события в системе K происходят в одном и том же месте пространства , то они будут совпадать в пространстве и во времени также в системе K’.

Если же события в системе K пространственно разобщены , то системе они также окажутся пространственно разобщенными , но будут одновременными. Знак разности определяется знаком выражения . Из этого следует, что в разных системах , (при разных v) разность будет различна по величине и может отличаться по знаку. Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Сказанное относится только к событиям, между которыми отсутствует причинная связь.

Причинно связанные события (например, выстрел и попадание пули в мишень) ни в одной системе отсчета не будут одновременными и во всех системах событие, являющееся причиной, будет предшествовать следствию.

6.3. Длина тел в разных системах

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы K’. Длина его в этой системе равна: , где и - не изменяющиеся со временем координаты концов стержня. Относительно системы K стержень движется со скоростью v. Для определения его длины в этой системе нужно отметить координаты концов стержня и в один и тот же момент времени . Их разность даст длину стержня, измеренную в системе K. Чтобы найти соотношение между и , следует взять ту из формул преобразования Лоренца, которая содержит , т.е.

откуда

или, окончательно

Таким образом, длина стержня , измеренная в системе относительно которой он движется, оказывается меньше длины , измеренной в системе, относительно которой он покоится. Это явление называется лоренцевым сокращением.

Скорости, при которых сокращение размеров движущихся материальных

тел становится заметным, носят название релятивистских скоростей, и в настоящее время они достигнуты в крупных масштабах в лабораторной практике и в новых промышленных аппаратах. В ядерных реакторах атомныхэлектростанций быстрые нейтроны движутся со скоростями, для которых , т.е. сокращение длины порядка 0,3%. Релятивистские частицы, приходящих на Землю космических лучей имеют и продольные размеры сокращаются в 10 миллионов раз. Для быстро летящих заряженных частиц подобной продольной деформации подвергается сопровождающее их электромагнитное поле. На рис.6.За изображены линии поля и постоянного потенциала электрического поля точечного заряда, когда он неподвижен. На рис. 6.36 тот же заряд, движущийся с не слишком большой скоростью, на рис.6.3в - со скоростью, очень близкой скорости света. Если в первом случае поле сферически симметрично, то в последнем оно практически сжимается в «лепешку», перпендикулярную к направлению движения. Эту деформацию электромагнитного поля можно обнаружить на опыте. Релятивистская частица будет взаимодействовать с неподвижным пробным зарядом , помещенным на ее пути, лишь в течении очень краткого времени, когда «лепешка» силовых линий проходит через заряд .

Любопытно, что визуально (или на фотографии) изменение формы тела даже при сравнимых со скоростью света скоростях, не может быть обнаружено. Причина этого весьма проста. Наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы регистрируем импульсы света от разных участков тела достигшие одновременно сетчатки глаза или фотопластинки. Испускаются же эти импульсы не одновременно. Импульсы от более удаленных участков тела были испущены раньше, чем от более близких участков. Таким образом, если тело движется, на сетчатке глаза получается искаженное изображение тела. Соответствующий расчет показывает, что следствием искажения будет уничтожение лоренцевого сокращения, так что тела кажутся не искаженными, а лишь повернутыми. Если бы лоренцевого сокращения не было, тела казались бы вытянутыми в направлении движения.

6.4. Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в точке х’, неподвижной относительно системы K’, происходит событие длящееся время . Началу события соответствует в этой системе координата и момент времени, концу события - координата и момент времени . Относительно системы K точка, в которой происходит событие, перемещается. Согласно преобразованиям Лоренца началу и концу события соответствуют в системе K’.

Откуда

или

Время , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называют собственным временем этого тела. Kак видно из уравнения, собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела.Релятивистский эффект замедления хода времени позволяет в принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое). В самом деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью (где ) относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды и обратно. Если свет проходит путь от звезды до Земли за время , то и для земного наблюдателя продолжительность перелета равна:

Именно настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. С другой стороны, по часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньшее время , которое:

В соответствии с принципом относительности все процессы на космическом корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле. Пусть, например, = 500 лет и = 0,9999. Тогда

лет, а лет.

6.5. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ спостоянной скоростью Система K’ движется относительно системы K в том же направлении со скоростью v, Определим, чему равна скорость материальной точки v_o, относительно системы K, т.е. чему равно . Пусть при м.т. находится в начале координат, причем . Для системы K:

Подставляя и t в формулу для v_o

Делим числитель и знаменатель на t

Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей. При малых значениях скоростей и имеем

т.е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический

6.6. Релятивистский импульс

Уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, по отношению же к преобразованиям Лоренца они оказываются неинвариантными. Из теории относительности следует, что уравнение динамики, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, имеет вид:

где - инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета величина называемая массой покоя частицы, v- скорость частицы, - сила действующая на частицу. Сопоставим с классическим уравнением

Мы приходим к выводу, что релятивистский импульс частицы равен

(6.7)

Релятивистская масса.

Определив массу частицы m как коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом, получим, что масса частицы зависит от ее скорости.

(6.8)

Энергия в релятивистской динамике.

Для энергии частицы в теории относительности получается выражение:

(6.9)

Из (2.3) следует, что покоящаяся частица обладает энергией

(6.10)

Эта величина носит название энергии покоя частицы. Kинетическая энергия, очевидно, равна

(6.11)

Приняв во внимание, что , выражение для полной энергии частицы можно написать в виде

(6.12)

Из последнего выражения вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением массы тела

и, наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменениемэнергии . Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергии.

7. Механические колебания. Введение

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.

7.1 Основные понятия и определения

Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:

(7.1)

Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол . Если начальный угол отличен от нуля и равен φ₀, тогда угол поворота будет равен Проекция на ось ХО₁ равна . По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точка будет совершать колебания относительно точки - вверх, вниз и т.д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота; - фаза колебаний; – начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.

Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.

Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан:

или

Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:

Дата добавления: 2014-01-07